Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS

Im Berliner Bezirk Marzahn-Hellersdorf befindet sich ein Ausstellungsgebäude, das die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat (vgl. Abbildung). Die vollständig verglasten Außenwände sind zum Schutz gegen Sonneneinstrahlung teilweise mit Zinkblech verkleidet. Alle Glasscheiben stimmen in ihren Maßen überein.

Das Gebäude lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch die Pyramide $ABCDS$ mit $B(9|9|0)$, $C(0|9|0)$, $D(0|0|0)$ und $S(4{,}5|4{,}5|12)$ beschreiben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $A$ an und stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem grafisch dar.

b)

Die Diagonalen der Grundfläche schneiden sich im Punkt $F$. Geben Sie die Koordinaten von $F$ an. Begründen Sie ohne zu rechnen, dass das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{BF}$ und $\vec{FS}$ null ist.

d)

Berechnen Sie die Größe der Neigungswinkel der Außenwände des Gebäudes gegen die Grundfläche.

e)

Der Innenraum des Ausstellungsgebäudes soll durch zwei Lichtleisten beleuchtet werden, die sich im Modell durch Strecken darstellen lassen. Diese Strecken beginnen in den Mittelpunkten der Kanten $\overline{CS}$ bzw. $\overline{DS}$ und enden in einem Punkt $L$ der Mittelsenkrechten des Dreiecks $ABS$ zur Seite $\overline{AB}$. Ein Designer schlägt vor, den Punkt $L$ so zu wählen, dass die Lichtleisten einen rechten Winkel einschließen. Untersuchen Sie, ob sich dieser Vorschlag geometrisch umsetzen lässt.

Ja

Nein

f)

Die Abbildung zeigt zwei Personen vor einer Außenwand des Gebäudes. Schätzen Sie mithilfe der Abbildung den prozentualen Anteil der verkleideten Fläche dieser Außenwand ab; erläutern Sie Ihr Vorgehen.