Aufgabe 1 (WTR 1) - Längen, Winkel und Abstände i… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2024

Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der $x$-Achse.

a

Die beiden viereckigen Dachflächen der Eingangsüberdachung haben jeweils einen Flächeninhalt von etwa $3{,}6\text{ m}^2$. Die Eingangsüberdachung soll mit Dachziegeln gedeckt werden. Bestimmen Sie den Inhalt der zu bedeckenden Fläche. [4 BE]

b

Zur Beleuchtung werden an einer Strebe, die im Modell zwischen den Punkten $A$ und $E$ verläuft, zwei Lampen so befestigt, dass deren Befestigungspunkte diese Strebe in drei gleich lange Abschnitte teilen. Bestimmen Sie für einen dieser Befestigungspunkte die Koordinaten im Modell. [2 BE]

c

Die in der Abbildung dargestellte Fläche des Hausdachs liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung $3y + 3{,}6z = 0$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels im Inneren des Hauses zwischen Hausdach und vertikaler Hauswand. Ermitteln Sie für die Ebene, in der die dreieckige Dachfläche der Eingangsüberdachung liegt, eine Gleichung in Koordinatenform. [6 BE]