Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2024

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3|-3|0)$, $B(3|-3|0)$, $C(3|3|0)$, $D(-3|3|0)$ und $S(0|0|4)$ sowie den Punkt $O(0|0|0)$, der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$.

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen

$$E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12 \quad \text{mit } k \in [-1; 1].$$ Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1$.

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$-Ebene in einer Gerade $g_k$. Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. [4 BE]

b)

Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist. [3 BE]

d)

Es gibt einen Punkt $P(0|0|p)$, der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ p \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{II } 4 \cdot 4t + 3 \cdot (p + 3t) = 12 \quad \text{III } |\vec{PQ}| = p$$

Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen. [5 BE]

f)

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist, und bestimmen Sie diese Größe. [4 BE]

°

g)

Zeichnen Sie die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein. [2 BE]

h)

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1$, dann dreht sich die Fläche $OR_kS$ um die Strecke $\overline{OS}$. Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. [3 BE]