Aufgabe 3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Die beiden quadratischen Spielhälften eines Beachvolleyballfelds sind jeweils 8 m lang und breit. Sie werden durch ein Netz voneinander getrennt, dessen obere Kante 2,4 m über dem horizontalen Sandboden verläuft. Das Netz ist an zwei vertikal stehenden Pfosten befestigt, die 10 m voneinander entfernt sind. Die beiden Pfosten haben den gleichen Abstand von den seitlichen Begrenzungslinien des Spielfelds.

Für ein Computerspiel werden das Spielfeld, das Netz und eine Tribüne vereinfacht, aber maßstabsgetreu in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität; die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Sandboden.

Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte des Spielfelds. Die beiden Strecken, die die Pfosten abbilden, enden in den Punkten E und $F(-1|8|2{,}4)$ an der Oberkante des Netzes. Die Tribüne wird durch ein Viereck dargestellt, dessen Eckpunkte $G(-4|0|0)$, $H(-4|16|0)$, $I(-10|20|4)$ und $J(-10|-4|4)$ in der Ebene $L: 2x_1 + 3x_3 = -8$ liegen.

a

Zeigen Sie, dass die Tribüne die Form eines Trapezes hat, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. [3 BE]

b

In der Realität nimmt man an, dass pro Person $0{,}5\,\text{m}^2$ der Tribüne eingenommen werden. Ermitteln Sie die Anzahl der Zuschauer, die im Computerspiel dargestellt werden müssen, um eine voll besetzte Tribüne zu zeigen. [5 BE]

c

Berechnen Sie den Abstand des Punkts $F$ von der Ebene $L$. [3 BE]

d

Begründen Sie anhand einer geeigneten Zeichnung, dass kein Punkt des Vierecks, das die Tribüne darstellt, vom Punkt $F$ den gleichen Abstand wie die Ebene $L$ hat. [4 BE]