Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2018

Die Abbildung zeigt – nicht maßstabsgetreu – ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die xy-Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht; eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B(0{,}45 \mid 0{,}45 \mid 0)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung. Das Quadrat $EFGH$ ist parallel zur xy-Ebene.

Der obere Teilkörper $EFGHS$ mit $E(0{,}35 \mid -0{,}35 \mid 7{,}16)$ ist eine gerade Pyramide. Der Punkt $S$ liegt auf der z-Achse und stellt die Spitze des Obelisken dar.

b)

Berechnen Sie die Größe der Neigungswinkel der Seitenkanten des unteren Teilkörpers gegenüber dem Untergrund.

[2 BE]

c)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt einer der Seitenflächen des unteren Teilkörpers.

[4 BE]

d)

Der untere Teilkörper des Obelisken besteht aus Granit. Ein Kubikmeter des verwendeten Materials hat eine Masse von $2{,}6$ Tonnen. Bestimmen Sie die Masse des unteren Teilkörpers.

[5 BE]

e)

Entscheiden Sie für jede der folgenden Gleichungen I bis IV, ob sie eine Symmetrieebene des Obelisken beschreibt. Begründen Sie für eine der Gleichungen, dass Sie keine solche Ebene darstellt.

[4 BE]

Gleichung

Symmetrieebene?

I: $x = 0{,}45$

II: $y = 0$

III: $x - y = 0$

IV: $x - z = 0$

Auf den Obelisken treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ dargestellt werden.

f)

Begründen Sie, dass der Schatten der Spitze des Obelisken nur dann auf dem Untergrund liegt, wenn der obere Teilkörper des Obelisken ausreichend hoch ist.

[2 BE]

g)

Der Abstand des auf dem Untergrund liegenden Schattens der Spitze des Obelisken von dem Punkt, der im Modell durch $B$ dargestellt wird, beträgt $5{,}1$ Meter. Ermitteln Sie die Höhe des Obelisken.

[5 BE]