Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$.

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen $E_t$ in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

c)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$, für die die zugehörige Ebene $E_t$ mit der $x_1x_2$-Ebene einen Winkel der Größe $60^\circ$ einschließt.

e)

Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

g)

Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:

$$\left| \frac{t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4t}{\sqrt{t^2 + t^2 + 16}} \right| = 2 \Leftrightarrow t = -2\sqrt{2} \lor t = 2\sqrt{2}$$

Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.