Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Abbildung zeigt gepunktet die Seiten der Schnittfigur des Quaders und einer Ebene, in der die Punkte $A$ und $C$ sowie ein Punkt $P$ der Gerade $h$ liegen. Diese Ebene zerlegt den Quader in zwei Teilkörper.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$. Dabei ist $E_6$ diejenige Ebene, für die in der Abbildung die Seiten der Schnittfigur dargestellt sind.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an. [3 BE]

d)

Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen. [5 BE]