Aufgabe 2 – Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2018

Vor einer Hauswand ist ein rechteckiges Reklameschild angebracht, das durch einen Scheinwerfer beleuchtet wird. Der Scheinwerfer lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch den Punkt $L(12|-4|3)$ beschreiben. Die Eckpunkte des Schilds werden durch die Punkte $A(4|0|3)$, $B(6|4|3)$, $C(6|4|5)$ und $D(4|0|5)$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund, auf dem das Haus steht, die $yz$-Ebene die Ebene, in der die Hauswand liegt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Auf der Hauswand ist der Schatten des Schilds sichtbar. Der Punkt $A'(0|2|3)$ stellt den zu $A$ gehörenden Eckpunkt des Schattens dar, die Punkte $C'(0|12|7)$ und $D'(0|2|6)$ die zu $C$ bzw. $D$ gehörenden Eckpunkte.

Der Scheinwerfer kann entlang einer vertikal verlaufenden Stange in der Höhe verschoben werden; dabei liegt der Schatten des Schilds stets vollständig auf der Hauswand. Für jede der beiden Kanten des Schattens, die durch die linke und rechte Kante des Schilds erzeugt werden, gelten folgende Aussagen:

Die Kante verläuft für alle Positionen des Scheinwerfers entlang derselben vertikalen Gerade.

Die Länge der Kante bleibt bei Verschiebung des Scheinwerfers unverändert.

d

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Schattens.

e

Berechnen Sie die Größe des größten Innenwinkels des Schattens.

f

Weisen Sie die Gültigkeit der Aussage II für eine der beiden betrachteten Kanten des Schattens rechnerisch nach.

g

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Schattens bei Verschiebung des Scheinwerfers nicht verändert.