Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Kurzbeschreibung

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

a)

Begründen Sie, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7320 \\ -1750 \\ 50 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8310 \\ 8740 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft.

b)

100 Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

Zeigen Sie, dass sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren 200 Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

g)

Nach der Landung auf dem Ausweichplatz steuert die Drohne eine Position an, die sich in einer Höhe von $50\text{ m}$ befindet und vom Startplatz, vom regulären Landeplatz und von der Bodenstation gleich weit entfernt ist. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.

Die Ebene $E$ enthält alle Punkte, die von $S$ und $L$ den gleichen Abstand haben. Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

h)

Stellen Sie die Ebene $E$ in der Abbildung dar. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten. Veranschaulichen Sie das Verfahren in der Abbildung.