Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Die Abbildung zeigt ein Gebäude des Flughafens von Palma de Mallorca. Im eingezeichneten kartesischen Koordinatensystem kann die 140 Meter lange Dachkonstruktion modellhaft durch einen halben Zylinder und drei Prismen zusammengesetzt werden; die dreieckigen Grundflächen dieser Prismen sind kongruent.

Der Boden des Gebäudes sowie die Startbahnen des Flughafens liegen im Modell in der $xy$-Ebene. Die Seitenkanten der Prismen verlaufen parallel zur $y$-Achse. Die Punkte $A(7|0|4)$, $B(0|0|4)$ und $C(3{,}5|0|7{,}5)$ sind Eckpunkte eines der Prismen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Der Abbildung liegt ein Foto zugrunde. Die Position der Kamera, mit der dieses Foto aufgenommen wurde, wird durch den Punkt $K(30 \mid 20 \mid 1{,}5)$ dargestellt. Die weiße Dachfläche, die mit dem Schriftzug „Aeropuerto de Palma de Mallorca“ versehen ist, liegt im Modell in der Ebene $E$.

c)

Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $E: x + z = 11$)

Hinter dem Gebäude startet ein Flugzeug. Ab einer bestimmten Höhe über der Startbahn ist die Flugzeugspitze von der Position der Kamera aus oberhalb des Gebäudes sichtbar. Im Folgenden soll diese Höhe ermittelt werden.

e)

Begründen Sie anhand einer geeignet beschrifteten Skizze, dass diejenigen Punkte der Dachkonstruktion, die am höchsten über dem Boden des Gebäudes liegen, für die Ermittlung der gesuchten Höhe keine Rolle spielen.

f)

Von der Position der Kamera aus wird die Flugzeugspitze unmittelbar oberhalb derjenigen Punkte der Dachkonstruktion sichtbar, die im Modell näherungsweise auf der Gerade mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}1 \\ 0 \\ 10{,}9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

liegen. Die Spitze des startenden Flugzeugs bewegt sich im Modell entlang der Gerade mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -60 \\ -990 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1000 \\ 0 \\ 350 \end{pmatrix}.$$

Ermitteln Sie die gesuchte Höhe.