Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $B(4{,}5|0|0)$, $D(0|0|12)$, $E(4{,}5|0|9)$ und $F(0|6|10{,}5)$. Die Grundfläche liegt in der $x_1x_2$-Ebene, die Seitenflächen stehen dazu senkrecht. Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf den Kanten $\overline{AD}$ bzw. $\overline{CF}$ und haben die gleiche $x_3$-Koordinate wie $E$.

Betrachtet wird die Ebene $$W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

Betrachtet wird die Ebene $W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$.

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Schnittpunkte von $W$ mit den Kanten $\overline{AD}$ und $\overline{CF}$. Zeichnen Sie in die Abbildung die Figur ein, in der $W$ den Körper $ABCDEF$ schneidet.

e)

Die Ebene $W$ schneidet die Strecke $\overline{GH}$. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhältnis, in dem der Schnittpunkt diese Strecke teilt.

g)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:

Jeder Punkt der Ebene $W$ liegt auf einer Gerade der Schar.