Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

Die Abbildung 1 stellt einen bearbeiteten Edelstein dar. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem, in dem eine Längeneinheit einem Millimeter in der Wirklichkeit entspricht, sind die Quadrate $ABCD$ und $EFGH$ mit $A(4|4|-1)$ und $E(2|2|0)$ parallel zur xy-Ebene. Die Mittelpunkte der beiden Quadrate sowie der Punkt $S(0|0|-5)$ liegen auf der z-Achse.

Die Abbildung 2 stellt den Edelstein nach einem zusätzlichen Bearbeitungsschritt dar, bei dem ein pyramidenförmiges Stück abgeschliffen wurde. Das Viereck $EIJK$ mit $I(4|2|-1)$ und $K(2|4|-1)$ ist ein Drachenviereck und liegt in der Ebene $W$.

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin \alpha = 2 \sin \beta$.

1 a

Die Gerade $u: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft durch $A$. Zeigen Sie, dass $u$ auch durch $S$ verläuft.

[1 BE]

1 b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $W$ in Koordinatenform.

[4 BE]

(zur Kontrolle: $W: x + y + 2z - 4 = 0$)

1 c

Berechnen Sie die Koordinaten von $J$.

[3 BE]

(zur Kontrolle: $J(3{,}5 | 3{,}5 | -1{,}5)$)