Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene T in Koordinatenform. (Herleitung)

Lösung: $T: \vec{x} = \vec{OI} + r \cdot \vec{IJ} + s \cdot \vec{JK} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$. Daraus folgt das Gleichungssystem: I: $x_1 = 5 - 3r - 2s$ II: $x_2 = 5r \implies r = \frac{1}{5}x_2$ III: $x_3 = 1 - r + 2s \implies s = \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{10}x_2 - \frac{1}{2}$ Eingesetzt in I: $x_1 = 5 - \frac{3}{5}x_2 - x_3 - \frac{1}{5}x_2 + 1 \iff 5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 30 = 0$.

c) Gleichung der Ebene T in Koordinatenform:

Lösung: $5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 30 = 0$ / $5x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 30$

f) Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung x_3 = 3,5 liegt.

Lösung: Eine Gerade liegt genau dann in der Ebene mit der Gleichung $x_3 = 3{,}5$, wenn für alle Punkte dieser Gerade $x_3 = 3{,}5$ gilt. Für die Punkte der Geradenschar ist $x_3 = 3{,}5 + r \cdot \frac{2}{a}$. Wegen $\frac{2}{a} \neq 0$ für alle $a \in \mathbb{R}^+$ ist dies für keine Gerade der Schar der Fall.

g) Untersuchen Sie, ob die Schnittgerade von T und T' zur betrachteten Schar gehört.

Lösung: Ja

g) Untersuchung und Nachweis:

Lösung: Die Koordinaten des Punkts $(2{,}5|0|3{,}5)$ erfüllen die Gleichungen von $T$ und $T'$: Für $T$: $5 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 3{,}5 - 30 = 12{,}5 + 17{,}5 - 30 = 0$. Für $T'$: $-5 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 3{,}5 - 5 = -12{,}5 + 17{,}5 - 5 = 0$. Also liegt der Aufpunkt aller Schargeraden auf der Schnittgeraden. Der Richtungsvektor muss orthogonal zu den Normalenvektoren von $T$ und $T'$ sein. Für $a \in \mathbb{R}^+$ gilt: $\begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 0 \iff -40a + \frac{10}{a} = 0 \iff 40a^2 = 10 \iff a^2 = \frac{1}{4} \iff a = \frac{1}{2}$. Für $a = \frac{1}{2}$ lautet der Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$. Prüfung mit dem Normalenvektor von $T'$: $\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-5) - 5 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 0$. Da sowohl der Punkt auf der Schnittgeraden liegt als auch der Richtungsvektor für $a = \frac{1}{2}$ parallel zur Schnittgeraden ist, gehört die Schnittgerade zur Schar.