Aufgabe 3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

Die Abbildung zeigt modellhaft ein zylinderförmiges Silo, dessen Schatten teilweise auf eine Scheune fällt. Das Silo ist $9{,}6\text{ m}$ hoch und hat einen Durchmesser von $4\text{ m}$. Die beiden Gebäude stehen senkrecht auf einem horizontalen Untergrund, der im dargestellten kartesischen Koordinatensystem durch die xy-Ebene beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Dachfläche der Scheune wird durch das Viereck mit den Eckpunkten $A(2|6|3)$, $B(-2|6|6)$, $C(-2|-6|6)$ und $D(2|-6|3)$ dargestellt.

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die beiden Gebäude trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Raumbereich zwischen Silo und Scheune, der vom Sonnenlicht nicht erreicht wird, wird von mehreren Flächen begrenzt. Eine dieser Begrenzungsflächen wird durch das ebene Fünfeck PQRST beschrieben, wobei der Punkt T im Modell den Schatten von $P(7{,}2|-3{,}4|9{,}6)$ darstellt.

b)

Das Viereck $ABCD$ liegt in der Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

(zur Kontrolle: $E: 3x + 4z = 18$)

e)

Das Fünfeck $PQRST$ liegt in der Ebene $F$. Begründen Sie ohne die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Fünfecks zu bestimmen, dass $F$ durch die Gleichung $3x + 4y = 8$ beschrieben wird. [4 BE]

g)

Eine zweite Begrenzungsfläche des betrachteten Raumbereichs liegt im Modell in einer Ebene $H: 3x + 4y = d$ mit $d \in \mathbb{R}$. Berechnen Sie den Wert von $d$. [4 BE]