Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\text{ m}$.

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

a

Begründen Sie, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7320 \\ -1750 \\ 50 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8310 \\ 8740 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft.

100 Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

b

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren 200 Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

$($ $\mid$ $\mid$ $)$