Aufgabe 3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Die beiden quadratischen Spielhälften eines Beachvolleyballfelds sind jeweils 8 m lang und breit. Sie werden durch ein Netz voneinander getrennt, dessen obere Kante 2,4 m über dem horizontalen Sandboden verläuft. Das Netz ist an zwei vertikal stehenden Pfosten befestigt, die 10 m voneinander entfernt sind. Die beiden Pfosten haben den gleichen Abstand von den seitlichen Begrenzungslinien des Spielfelds.

Für ein Computerspiel werden das Spielfeld, das Netz und eine Tribüne vereinfacht, aber maßstabsgetreu in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität; die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Sandboden.

Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte des Spielfelds. Die beiden Strecken, die die Pfosten abbilden, enden in den Punkten E und $F(-1|8|2{,}4)$ an der Oberkante des Netzes. Die Tribüne wird durch ein Viereck dargestellt, dessen Eckpunkte $G(-4|0|0)$, $H(-4|16|0)$, $I(-10|20|4)$ und $J(-10|-4|4)$ in der Ebene $L: 2x_1 + 3x_3 = -8$ liegen.

Im Folgenden wird der Ball im Modell vereinfachend als punktförmig angenommen.

e

Nach einem Angriffsschlag bewegt sich der Ball vom Punkt $(2|7{,}5|3)$ aus geradlinig in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Ball das Netz berührt. [4 BE]

Ein Aufschlag wird hinter der parallel zum Netz verlaufenden Begrenzungslinie der von der Tribüne aus gesehen rechten Spielfeldhälfte ausgeführt. Anschließend kann die Bahn des Balls mithilfe der Punkte $X_t(3|12t - 1|-5t^2 + 4t + 2{,}8)$ beschrieben werden; dabei ist $t$ die seit dem Schlag vergangene Zeit in Sekunden. Auf dieser Bahn überfliegt der Ball das Netz.

f

Begründen Sie, dass sich der Ball in einer Ebene bewegt, und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an. [2 BE]

g

Untersuchen Sie, ob der Ball innerhalb des Spielfelds auf dem Boden auftrifft, wenn er nach dem Aufschlag von keinem Spieler berührt wird. [4 BE]