Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Thema: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2018)

Aufgabenstellung

Die Punkte A(4∣0∣0)A(4|0|0), B(4∣4∣0)B(4|4|0), C(0∣4∣0)C(0|4|0) und F(4∣4∣3)F(4|4|3) sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade hh verläuft durch BB und FF.

Die Punkte der Gerade hh lassen sich durch Pt(4∣4∣t)P_t(4|4|t) mit t∈Rt \in \mathbb{R} darstellen. Für jeden Wert von tt liegen AA, CC und PtP_t in der Ebene Et:t⋅x1+t⋅x2−4⋅x3−4t=0E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0.

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen EtE_t in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

b)

Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch AA und CC verläuft. Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Gerade hh ist.

d)

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass t=6t = 6 ist.

f)

Es gibt Werte von tt, für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene EtE_t die Form eines Dreiecks hat. Geben Sie alle diese Werte von tt an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von tt die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b) Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch A und C verläuft.

Lösung: x⃗=(400)+u⋅(−110), u∈R\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ u \in \mathbb{R}

b) Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Gerade h ist.

Lösung: Die Gerade h schneidet die x1x2-Ebene im Punkt B. Die Gerade durch A und C liegt in der x1x2-Ebene und verläuft nicht durch B.

d) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass t = 6 ist.

Lösung: Verlängert man eine passende Seite der Schnittfigur so, dass die Verlängerung die Gerade h schneidet, so stimmt die x3-Koordinate des Schnittpunkts mit dem Wert von t überein.

f) Geben Sie alle diese Werte von t an.

Lösung: t∈[−3;3]∖{0}t \in [-3; 3] \setminus \{0\}

f) Beschreiben Sie in Abhängigkeit von t die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

Lösung: Zwei der Eckpunkte sind stets die Punkte A und C. Für 0 < t ≤ 3 liegt der dritte Eckpunkt auf der Seitenkante BF des Quaders, für -3 ≤ t < 0 auf der gegenüberliegenden Seitenkante.

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