Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2018

b) Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch A und C verläuft.

Lösung: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad u \in \mathbb{R}$

b) Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Gerade h ist.

Lösung: Die Gerade $h$ schneidet die $x_1x_2$-Ebene im Punkt $B$. Die Gerade durch $A$ und $C$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene und verläuft nicht durch $B$.

c) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass P die x_3-Koordinate 6 hat.

Lösung: Verlängert man eine passende Seite der Schnittfigur so, dass die Verlängerung die Gerade $h$ schneidet, so liefert der Schnittpunkt die $x_3$-Koordinate von $P$.

e) Zeigen Sie, dass der Punkt (0|0|2) der Schnittpunkt der Ebene E_{-2} mit der x_3-Achse ist.

Lösung: Der gegebene Punkt liegt wegen $x_1 = x_2 = 0$ auf der $x_3$-Achse und wegen $-2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 4 \cdot 2 + 8 = 0$ in der Ebene $E_{-2}$.

f) Geben Sie alle diese Werte von t an, für die die Schnittfigur die Form eines Dreiecks hat.

Lösung: $t \in [-3; 3] \setminus \{0\}$

f) Beschreiben Sie in Abhängigkeit von t die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

Lösung: Zwei der Eckpunkte sind stets die Punkte $A$ und $C$. Für $0 < t \le 3$ liegt der dritte Eckpunkt auf der Seitenkante $\overline{BF}$ des Quaders, für $-3 \le t < 0$ auf der gegenüberliegenden Seitenkante.