Aufgabe WTR 3 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ und $k \in \mathbb{R},\; k \neq 0$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Im Folgenden sei $k > 0$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

a)

Begründen Sie, dass $-10$ die einzige Nullstelle von $f_k$ ist, und geben Sie das Verhalten von $f_k$ für $x \to -\infty$ in Abhängigkeit von $k$ an.

c)

Für $k \neq -1$ werden $G_k$ und $G_{k+1}$ betrachtet. Berechnen Sie den Abstand der Schnittpunkte von $G_k$ und $G_{k+1}$ mit der $y$-Achse.

d)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Spiegelt man einen beliebigen Graphen der Schar an der x-Achse, so entsteht ein anderer Graph der Schar.