Aufgabe WTR 1 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+e^{c \cdot x}}$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}$. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40; 1; -0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot x}}$. Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$:

(1) $\frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+e^{c \cdot x}} = 45$

(3) $\frac{a}{b+e^{15 \cdot c}} = 35$

Teilaufgabe 2a [4 BE]

Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten von $a$ und $b$, zu einem der Werte $c = -1$, $c = 0$ und $c = 1$.

Ordnen Sie den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Graph I: $c =$

Graph II: $c =$

Graph III: $c =$

Teilaufgabe 2b [4 BE]

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40;1;-0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $$w(x) = \frac{40}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$$ Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

1.

Seeadler

2.

$x \approx$ Jahre

Teilaufgabe 2d [3 BE]

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$.

(1) $\quad \frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\quad \lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+\mathrm{e}^{c\cdot x}} = 45$

(3) $\quad \frac{a}{b+\mathrm{e}^{15\cdot c}} = 35$

Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.