Abitur Hessen Mathematik 2024 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3|-3|0)$, $B(3|-3|0)$, $C(3|3|0)$, $D(-3|3|0)$ und $S(0|0|4)$ sowie den Punkt $O(0|0|0)$, der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$.

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen

$$E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12 \quad \text{mit } k \in [-1; 1].$$ Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1$.

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$-Ebene in einer Gerade $g_k$. Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. [4 BE]

b)

Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist. [3 BE]

d)

Es gibt einen Punkt $P(0|0|p)$, der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ p \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{II } 4 \cdot 4t + 3 \cdot (p + 3t) = 12 \quad \text{III } |\vec{PQ}| = p$$

Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen. [5 BE]

f)

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist, und bestimmen Sie diese Größe. [4 BE]

°

g)

Zeichnen Sie die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein. [2 BE]

h)

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1$, dann dreht sich die Fläche $OR_kS$ um die Strecke $\overline{OS}$. Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. [3 BE]

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3|-3|0)$, $B(3|-3|0)$, $C(3|3|0)$, $D(-3|3|0)$ und $S(0|0|4)$ sowie den Punkt $O(0|0|0)$, der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$.

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen

$$E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12 \quad \text{mit } k \in [-1; 1].$$ Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1$.

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$-Ebene in einer Gerade $g_k$. Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $4y + 3z = 12$) [3 BE]

e)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1-k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12$ mit $k \in [-1; 1]$. Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist. [1 BE]

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse, die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird. Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares Sonnendach, im Folgenden als Markise bezeichnet. Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt.

Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(3|0|0)$, $C(3|3|0)$, $D(2|5|0)$ und $E(0|5|0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Befestigung der Markise an der Hauswand 2 verläuft horizontal in einer Höhe von $2{,}3\text{ m}$ über dem Boden. Beim Ausfahren der Markise vergrößert sich der Abstand ihrer vorderen Kante zur Hauswand 2. Wenn die Markise vollständig ausgefahren ist, hat ihre vordere Kante einen Abstand von $2{,}4\text{ m}$ zur Hauswand 2 und befindet sich in einer Höhe von $1{,}9\text{ m}$ über dem Boden. Die Markise befindet sich im Modell stets in derselben Ebene $M$ und hat die Form eines Rechtecks. Der Punkt $P(0|5|2{,}3)$ stellt eine Ecke der Markise dar. Die Materialstärken aller Gegenstände bleiben unberücksichtigt.

Abbildung 2 zeigt schematisch die Oberseite der Markise mit ihren zwei gestrichelt dargestellten Gelenkarmen. Im Folgenden wird nur der rechte Gelenkarm betrachtet. Er besteht aus der oberen Stange, einem Gelenk und der unteren Stange, die im Modell durch die Strecke $\overline{PG_k}$, den Punkt $G_k$ bzw. die Strecke $\overline{G_k Q_k}$ dargestellt werden. Die obere und die untere Stange sind gleich lang.

Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte $G_k$ und $Q_k$. Im Modell kann die jeweilige Position der oberen Stange durch eine Gerade der Schar$$o_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2{,}3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2{,}4k \\ -0{,}8 \\ -0{,}4k \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda \in \mathbb{R} \text{ und } 0{,}04 \le k \le 1$$beschrieben werden. Je größer der Wert von $k$ ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren, wobei für $k = 0{,}04$ die Markise vollständig eingefahren und für $k = 1$ vollständig ausgefahren ist.

a)

Bestimmen Sie die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten sowie den Flächeninhalt der Terrasse.

e)

Die nachfolgende Rechnung liefert die Größen zweier Winkel. Geben Sie die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an.

$$\cos\alpha = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}\right|} \text{ liefert } \alpha \approx 71{,}8^\circ \text{ und damit } \beta = 2 \cdot \alpha \approx 143{,}6^\circ.$$

f)

Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind $1{,}28\text{ m}$ lang. Mit $g$ wird diejenige Gerade bezeichnet, die im Modell die Lage der unteren Stange für $k = 0{,}5$ beschreibt. Bestimmen Sie die Koordinaten von $G_{0{,}5}$ und geben Sie einen Richtungsvektor von $g$ an.

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse, die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird. Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares Sonnendach, im Folgenden als Markise bezeichnet. Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt.

Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(3|0|0)$, $C(3|3|0)$, $D(2|5|0)$ und $E(0|5|0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Befestigung der Markise an der Hauswand 2 verläuft horizontal in einer Höhe von $2{,}3\text{ m}$ über dem Boden. Beim Ausfahren der Markise vergrößert sich der Abstand ihrer vorderen Kante zur Hauswand 2. Wenn die Markise vollständig ausgefahren ist, hat ihre vordere Kante einen Abstand von $2{,}4\text{ m}$ zur Hauswand 2 und befindet sich in einer Höhe von $1{,}9\text{ m}$ über dem Boden. Die Markise befindet sich im Modell stets in derselben Ebene $M$ und hat die Form eines Rechtecks. Der Punkt $P(0|5|2{,}3)$ stellt eine Ecke der Markise dar. Die Materialstärken aller Gegenstände bleiben unberücksichtigt.

Abbildung 2 zeigt schematisch die Oberseite der Markise mit ihren zwei gestrichelt dargestellten Gelenkarmen. Im Folgenden wird nur der rechte Gelenkarm betrachtet. Er besteht aus der oberen Stange, einem Gelenk und der unteren Stange, die im Modell durch die Strecke $\overline{PG_k}$, den Punkt $G_k$ bzw. die Strecke $\overline{G_k Q_k}$ dargestellt werden. Die obere und die untere Stange sind gleich lang.

Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte $G_k$ und $Q_k$. Im Modell kann die jeweilige Position der oberen Stange durch eine Gerade der Schar$$o_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2{,}3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2{,}4k \\ -0{,}8 \\ -0{,}4k \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda \in \mathbb{R} \text{ und } 0{,}04 \le k \le 1$$beschrieben werden. Je größer der Wert von $k$ ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren, wobei für $k = 0{,}04$ die Markise vollständig eingefahren und für $k = 1$ vollständig ausgefahren ist.

b)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $M$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + 6x_3 = 13{,}8$)

c)

Das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Terrasse einfallende Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}-0{,}92 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$ beschrieben werden. Untersuchen Sie, ob zu diesem Zeitpunkt bei vollständig ausgefahrener Markise mehr als die Hälfte der Terrassenfläche im Schatten liegt.

Ja

Nein

d)

Zeigen Sie, dass alle Geraden $o_k$ der Schar in der Ebene $M$ liegen.