Abitur Hessen Mathematik 2024 · LK · Teil A · Stochastik

Aufgabe 1

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$, wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

a

Begründen Sie, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben.

[2 BE]

b

Der Erwartungswert von $X$ ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.

[3 BE]

Bestimmen Sie die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $20$.

a

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ den Wert $14$ annimmt. [1 BE]

P ($X = 14$) =

b

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert annimmt, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht. Erläutern Sie die Überlegungen, die zur folgenden Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen: [4 BE]

$$P(18 \le X \le 20) \approx 2 \cdot 0{,}06 = 0{,}12;$$

$$\text{somit gilt: } P(|X - 20| > 2) \approx 1 - 2 \cdot 0{,}12 = 0{,}76$$

Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.

Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.

Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit $w$ bezeichnet wird.

Aufgabe 1

Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.

Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.

Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit $w$ bezeichnet wird.

Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen. Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter C ausgewählt wurde, mit dem Term

$$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{w+3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}}$$

berechnet werden. Weisen Sie dies nach und berechnen Sie $w$, wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert $\frac{1}{5}$ hat.

$w =$

Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.

Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.

Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit $w$ bezeichnet wird.

Aufgabe

5 BE

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen 3, 4, 5 oder 6 beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich 4.

Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\frac{1}{2}$.

Untersuchen Sie, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:

Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.

Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.

Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit $w$ bezeichnet wird.

a)

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl 1 nicht erzielt wird. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ in Abbildung 2 dar.

b)

Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen. Geben Sie zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße $Z$ an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie $X$, und begründen Sie Ihre Angabe.