Abitur Hessen Mathematik 2024 · GK · Teil A · Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

a

Bestimmen Sie grafisch den Wert des Integrals $\int_{-3}^{-1{,}5} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

b

Beschreiben Sie, wie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u$ mit $u(x) = -f(x) + 2$ aus $G_f$ erzeugt werden kann. Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $u$ an.

( |)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 4x$.

a)

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 4x$.

b)

Der Graph von $f$ und die $x$-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x) = 2 \cdot \mathrm{e}^x - 2$ und $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^x + 1$. Die Abbildung zeigt ihre Graphen.

a

Die erste Ableitungsfunktion von $g$ wird mit $g'$ bezeichnet. Berechnen Sie $g'(0)$ und veranschaulichen Sie in der Abbildung, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x) = 2 \cdot \mathrm{e}^x - 2$ und $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^x + 1$. Die Abbildung zeigt ihre Graphen.

b

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt eine Verschiebung in y-Richtung, durch die der Graph von h aus dem Graphen von g erzeugt werden kann.

[2 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{2}x^2$.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(4 \mid f(4))$.

a

Geben Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

[1 BE]

b

Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(u \mid f(u))$ die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid -f(u))$ schneidet.

[4 BE]

Gegeben sind die Funktion $f: x \mapsto \sqrt{x}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}_0^+$ und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{4}x$. Betrachtet wird das Intervall, das von den $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von $f$ und der Gerade $g$ begrenzt wird.

In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von $f$ mit der mittleren Änderungsrate von $f$ in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimmen Sie diese Stelle.

$x =$