Abitur Hessen Mathematik 2024 · GK · Teil A · Stochastik

In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt 40 %.

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Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, kleiner als $10\,\%$ ist. [2 BE]

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Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $\left(\frac{3}{5}\right)^4 + 4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5}$ berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an. [3 BE]

In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt 40 %.

a

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, $18\,\%$ beträgt.

[2 BE]

b

Begründen Sie, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.

[3 BE]

In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt 40 %.

Im hinteren Teil eines Klassenzimmers stehen sechs Stühle in einer Reihe.

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Es gibt vier Möglichkeiten, drei der sechs Stühle so auszuwählen, dass zwischen je zwei ausgewählten Stühlen mindestens ein weiterer Stuhl steht. Geben Sie diese Möglichkeiten an.

b

Die Schüler Aaron, Bert und Can sollen sich so auf jeweils einen der sechs Stühle setzen, dass zwischen je zwei Schülern mindestens ein weiterer Stuhl steht. Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.

In einem Betrieb werden Geräte hergestellt, von denen jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ fehlerfrei ist. Bevor ein Gerät in den Verkauf gehen kann, wird es einer Endkontrolle unterzogen. Dabei identifiziert die Endkontrolle ein fehlerfreies Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$. Dagegen wird ein fehlerhaftes Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ ebenfalls als fehlerfrei eingestuft.

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Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerät fehlerfrei ist und als fehlerfrei eingestuft wird, $89{,}1\,\%$ beträgt.

In einem Betrieb werden Geräte hergestellt, von denen jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ fehlerfrei ist. Bevor ein Gerät in den Verkauf gehen kann, wird es einer Endkontrolle unterzogen. Dabei identifiziert die Endkontrolle ein fehlerfreies Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$. Dagegen wird ein fehlerhaftes Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ ebenfalls als fehlerfrei eingestuft.

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Formulieren Sie eine Aussage im Sachzusammenhang, die sich in Verbindung mit der Gleichung $0{,}891 + 0{,}1 \cdot 0{,}05 = 0{,}896$ aus der Ungleichung

$$\sum_{k=90}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0{,}896^k \cdot 0{,}104^{100-k} > 0{,}5$$

ergibt.

In einem Betrieb werden Geräte hergestellt, von denen jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ fehlerfrei ist. Bevor ein Gerät in den Verkauf gehen kann, wird es einer Endkontrolle unterzogen. Dabei identifiziert die Endkontrolle ein fehlerfreies Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$. Dagegen wird ein fehlerhaftes Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ ebenfalls als fehlerfrei eingestuft.

Um Jugendliche bei einer Befragung zum sensiblen Thema „Unentschuldigtes Fernbleiben vom Unterricht“ dazu zu bewegen, die ihnen gestellte Frage wahrheitsgemäß zu beantworten, wird folgendes Verfahren angewandt:

Von den an der Befragung teilnehmenden Jugendlichen erhalten 60 % die folgende Frage F1 und 40 % die folgende Frage F2:

F1: „Ist es wahr, dass du schon einmal unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben bist?“

F2: „Ist es wahr, dass du noch nie unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben bist?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche der beiden Fragen sie erhalten hat. Sie beantwortet die Frage wahrheitsgemäß mit „Ja“ bzw. mit „Nein“.

Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Befragten, die schon einmal unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben sind, unter denjenigen, die die Frage F1 erhielten, ebenso groß ist wie unter allen Befragten. Dieser Anteil wird mit $p$ bezeichnet.

a)

Vervollständigen Sie das abgebildete Baumdiagramm, so dass es das beschriebene Verfahren darstellt. [2 BE]

b)

Es werden 1000 Jugendliche befragt. Von diesen antworten 420 mit „Ja“. Berechnen Sie den Anteil $p$, der sich auf Grundlage dieses Ergebnisses ergibt. [3 BE]

$p =$