Abitur Hessen Mathematik 2024 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in °C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25 °C.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon t \mapsto 5 + 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in °C. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

a)

Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12\,^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

c)

Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^*$ dauert es eine gewisse Zeit, bis die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^*$ und der Raumtemperatur angenommen hat. Zeigen Sie, dass diese Zeitdauer unabhängig von $t^*$ ist.

d)

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5 + 20\,\mathrm{e}^{-0{,}014\,t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ\mathrm{C}$. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in °C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25 °C.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon t \mapsto 5 + 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in °C. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

b

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten. Berechnen Sie $f'(30)$ und geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

e

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

a

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to -\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms.

d

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \in \mathbb{R}^+$ die Funktionswerte von $h_a$ nur für $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv sind.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

b

Es gibt eine Zahl $b > 1$, sodass die Fläche, die $H$, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche, die $H$ mit der x-Achse im ersten und zweiten Quadranten einschließt. Bestimmen Sie $b$.

c

Gegeben ist die in $]-\infty; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_{x}^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $-1$ besitzt und dass $K$ im Bereich $x < -1$ unterhalb der x-Achse verläuft. Deuten Sie damit unter Verwendung von Abbildung 1 den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $H$ geometrisch.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

e)

Es gibt einen Wert von $a$, sodass das Produkt der x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $H_a$ gleich dem Produkt der y-Koordinaten dieser beiden Punkte ist.

Berechnen Sie diesen Wert von $a$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

f)

Die Schnittpunkte von $H_a$ mit der x-Achse und der Hochpunkt von $H_a$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Dieses Dreieck rotiert um die x-Achse.

Die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $v$ gibt das Volumen dieses Rotationskörpers in Abhängigkeit von $a$ an. Abbildung 2 zeigt drei Graphen $G_1$, $G_2$ und $G_3$, von denen einer die Ableitungsfunktion $v'$ von $v$ darstellt.

Beurteilen Sie ohne Rechnung und unter Verwendung der Tatsache, dass die y-Koordinate des Hochpunkts von $H_a$ umso größer ist, je größer der Wert von $a$ ist, welcher Graph dies ist.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

a)

Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f_4$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat.

e)

Der Graph jeder Funktion $f_a$ hat genau einen Wendepunkt. Bestimmen Sie den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten $y$-Koordinate.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

b)

Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2|2)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

c)

Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_2$. Weisen Sie nach, dass es genau einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.

d)

Die Gleichung $f_a(x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $0$ und $$\frac{a^2 + \sqrt{a^3(a-4)}}{2} \quad \text{und} \quad \frac{a^2 - \sqrt{a^3(a-4)}}{2}.$$ Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

f

Im Folgenden gilt $0 < a < 4$.

Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_a$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x$, die den Graphen in den Punkten $O(0|0)$ und $P(u_a|f_a(u_a))$ schneidet. Die Gerade $g$, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = u_a$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.

Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

$\bullet\; f_a(x) = x \iff x = 0 \lor x = a^2$

$\bullet\; \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot f_a(a^2) = 3 \cdot \int_0^{a^2} (x - f_a(x))\,dx \iff a = 2$

Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung $a = 2$ geometrisch.

Für ein Umweltschutzprojekt sollen zwei Unterwasserdrohnen U1 und U2 in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten lassen sich für $0 \le t \le 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschreiben, wobei gilt:

$$v(t) = -\frac{6}{25}t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}t}$$$$w(t) = \frac{1}{216}t^3 - \frac{1}{6}t^2 + t$$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von U1 in Meter pro Minute und $w(t)$ die Geschwindigkeit von U2 in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

a)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [3 Punkte]

min

m/min

b)

Mit $v'$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.

Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t) < 0$ und $v'(t) > 0$.

Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von U1 in diesem Zeitraum. [2 Punkte]

Für ein Umweltschutzprojekt sollen zwei Unterwasserdrohnen U1 und U2 in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten lassen sich für $0 \le t \le 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschreiben, wobei gilt:

$$v(t) = -\frac{6}{25}t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}t}$$$$w(t) = \frac{1}{216}t^3 - \frac{1}{6}t^2 + t$$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von U1 in Meter pro Minute und $w(t)$ die Geschwindigkeit von U2 in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

c

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von U1 zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter. Ermitteln Sie den Abstand von U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

d

U2 ist zu Beobachtungsbeginn 5 Meter tiefer als U1 und steigt langsamer als U1. Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander. Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H(t_H \mid y_H)$.

Erläutern Sie, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_H$ an.