Abitur Hessen Mathematik 2017 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

b)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $H$ an. Weisen Sie nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

$H($

$|$

$|$

$)$

c)

Begründen Sie, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse ist.

d)

Berechnen Sie den Inhalt der gesamten Dachfläche in Quadratmetern.

f)

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2{,}10\text{ m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3{,}50\text{ m}$ über dem Untergrund an dem Pfosten befestigt, der im Modell durch die Strecke $\overline{AE}$ dargestellt wird, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte.

Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

e)

An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt durch $T(0|0|5{,}5)$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ beschreiben. Der untere Endpunkt des Schattens liegt auf der durch die Strecke $EF$ dargestellten Dachkante. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der den unteren Endpunkt des Schattens darstellt.

$P($

$|$

$|$

$)$

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|5|0)$ und $D(0|5|0)$ sowie der Spitze $S(2{,}5|2{,}5|3{,}9)$ gegeben.

Die Pyramide stellt modellhaft ein geschlossenes Zelt dar, das auf horizontalem Untergrund steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

a

Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein.

[3 BE]

b

Begründen Sie ohne Verwendung von Vektoren, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist.

[2 BE]

c

Bestimmen Sie den Inhalt einer Seitenfläche der Pyramide.

[2 BE]

e

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels einer Zeltwand gegenüber der Horizontalen.

[2 BE]

g

Auf einem Teil des Zeltbodens hat ein 1,20 m großes Kind die Möglichkeit, aufrecht zu stehen. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Anteil des Flächeninhalts dieses Teils am Flächeninhalt des gesamten Zeltbodens. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen anhand einer geeignet beschrifteten Skizze.

[5 BE]

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|5|0)$ und $D(0|5|0)$ sowie der Spitze $S(2{,}5|2{,}5|3{,}9)$ gegeben.

Die Pyramide stellt modellhaft ein geschlossenes Zelt dar, das auf horizontalem Untergrund steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

d

Die Punkte A, B und S liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $E: -39y + 25z = 0$)

[3 BE]

f

Auf das Zelt treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell zu einem bestimmten Zeitpunkt durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 7{,}5 \\ -12{,}5 \\ -3{,}9 \end{pmatrix}$ beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt trifft Sonnenlicht durch ein kleines Loch in einer Zeltwand genau auf den Eckpunkt des Zeltbodens, der durch den Punkt B beschrieben wird. Der Punkt $L(x_L \mid y_L \mid 1{,}3)$ stellt das Loch in der Zeltwand dar. Bestimmen Sie die Werte von $x_L$ und $y_L$.

[3 BE]