Abitur Hessen Mathematik 2017 · GK · Teil A · Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2e^{-\frac{1}{2}x}$. Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = -e^{-\frac{1}{2}x}$.

a

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

$y =$

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2e^{-\frac{1}{2}x}$. Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = -e^{-\frac{1}{2}x}$.

b

Zeichnen Sie in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von $f$, der $x$-Achse, der $y$-Achse sowie einer zur $y$-Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa $1{,}5$ beträgt. Geben Sie einen Term an, mit dem der Inhalt des von Ihnen eingezeichneten Flächenstücks berechnet werden kann.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto x^3 + 2x^2$.

a

Bestätigen Sie, dass $x_1 = -2$ und $x_2 = 0$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto x^3 + 2x^2$.

b

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt.

Aufgabe

a

Die Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion und deren erster Ableitungsfunktion.

Geben Sie an, welcher der beiden Graphen I und II die Ableitungsfunktion darstellt, und begründen Sie Ihre Angabe.

Aufgabe

b

Für einen Wert von $k$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = k\sin(x)$ betrachtet. Für $0 \le x \le \pi$ schließt der Graph von $f$ mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt $\frac{1}{2}$ ein. Bestimmen Sie den Wert von $k$.

$k =$