Abitur Hessen Mathematik 2017 · LK · Teil A · Analysis

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x) = 2e^{\frac{1}{2}x} - 1$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

a)

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $f$.

$x =$

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x) = 2e^{\frac{1}{2}x} - 1$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

b)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0|1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x) = 2e^{\frac{1}{2}x} - 1$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen pro Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen pro Kubikmeter zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t) = 3t^2 - 60t + 500$ mit $t \in \mathbb{R}$, $0 \le t \le 10$, beschrieben werden.

a

Bestimmen Sie die mittlere Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden der Messung. [3 BE]

b

Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt. [2 BE]

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 12x$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie dessen Hochpunkt $H(2|16)$.

a

Der Graph von $f$, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 2$ schließen für $0 \leq x \leq 2$ eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt 20 besitzt.

b

Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $H$ und besitzt eine negative Steigung. Der Graph von $f$, die y-Achse und die Gerade $g$ schließen für $0 \leq x \leq 2$ eine Fläche mit dem Inhalt 20 ein. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ mit der y-Achse.