Abitur Hessen Maschinenbautechnik 2021 · LK

Antrieb eines Kleinförderbandes

Ein Kleinförderband kann Stückgüter, etwa Pakete oder Werkstücke, transportieren. In der vorliegenden Konstruktion besitzt das Kleinförderband ein Schneckengetriebe, welches über einen Elektromotor angetrieben wird. Auf der Abtriebswelle des Getriebes ist eine Trommel montiert, welche das Kleinförderband über Reibschluss bewegt. Der Antrieb des Kleinförderbands ist schlupffrei.

1 Im Folgenden soll der Antrieb des Kleinförderbands überprüft werden. Ein Blockschaltbild veranschaulicht die Interaktionen der einzelnen Komponenten Elektromotor, Schneckengetriebe und Antriebstrommel (Material 1).

1.1

Folgende Rahmendaten liegen vor:

mechanische Leistung des Elektromotors: $P_{\text{M}} = 3\text{ kW}$

Drehzahl des Elektromotors: $n_{\text{M}} = 1400\text{ min}^{-1}$

Wirkungsgrad des Elektromotors: $\eta_{\text{M}} = 0{,}99$

Wirkungsgrad des Schneckengetriebes: $\eta_{\text{G}} = 0{,}88$

Übersetzungsverhältnis Schneckengetriebe: $i_{\text{G}} = 12{,}1$

Berechnen Sie die fehlenden Werte im Blockschaltbild.

Weisen Sie nach, dass die vom Hersteller vorgegebene Fördergeschwindigkeit in Höhe von höchstens $0{,}5\text{ m/s}$ für eine Antriebstrommel mit einem Außendurchmesser von $d_{\text{Tr}} = 80\text{ mm}$ eingehalten wird. [9 BE]

1.2

Die in Aufgabe 1.1 vorgesehene Kombination aus Elektromotor und Schneckengetriebe ist defekt. Als Alternative wird eine Kombination eines Elektromotors mit einstellbarem Drehzahlbereich von $800\text{ min}^{-1}$ bis $3000\text{ min}^{-1}$ und eines Schneckengetriebes mit $i_{\text{G}2} = 26$ angeboten. Die Baugruppen haben die gleichen Wirkungsgrade wie die aus Aufgabe 1.1.

Beurteilen Sie die Verwendbarkeit der angebotenen Kombination von Elektromotor und Schneckengetriebe als Ersatz für die in Aufgabe 1.1 vorgesehenen Baugruppen. [5 BE]

2

Zwischen dem Elektromotor und der Antriebstrommel ist ein Schneckengetriebe vorgesehen.

Erläutern Sie allgemein die charakteristischen Merkmale von Schneckengetrieben. (5 BE)

An der Übersetzungsstufe des Getriebes greifen an der Schnecke die Kräfte $F_{\text{t}1} = 2780\text{ N}$, $F_{\text{a}1} = 7280\text{ N}$ und $F_{\text{r}1} = 2840\text{ N}$ an (Material 2, Abbildung 1).

3.1

Zeichnen Sie die am Schneckenrad wirkenden Kräfte in Material 2, Abbildung 2 ein. [5 BE]

3.2

Das Schneckenrad hat einen Teilkreisdurchmesser von $d = 65\text{ mm}$. Analysieren Sie das Belastungsschema (Material 3 und Material 4) und bestimmen Sie die Lagerreaktionskräfte. [18 BE]

3.3

Skizzieren Sie die Querkraft- und Biegemomentverläufe der Schneckenradwelle in zwei Ebenen und berechnen Sie das maximale Biegemoment. [16 BE]

Material 4

Schneckenradwelle mit Lagerung, Rillenkugellager DIN 625-6007

4

Beurteilen Sie, ob das gewählte Rillenkugellager (Lager B) im Material 4 für den Anwendungsfall eine ausreichende Lebensdauer besitzt.

[16 BE]

Hinweis: Wenn Sie die axiale und radiale Lagerbelastung in Aufgabe 3.2 nicht ermittelt haben, ist mit $F_a = 2800\text{ N}$ und $F_r = 4000\text{ N}$ weiterzurechnen.

$10^6$ Umdr.

Die Schneckenradwelle aus E295 hat ein genormtes Wellenende DIN 748-30 x 80 und überträgt ein Torsionsmoment von $M_t = 225\text{ Nm}$ (Material 4 und Material 5). An dieser Stelle hat die Welle eine gemittelte Rautiefe $R_z = 10\ \mu\text{m}$.

Material 4

Schneckenradwelle mit Lagerung, Rillenkugellager DIN 625-6007

Material 5

Wellenenden

Europa-Lehrmittel: Tabellenbuch Metall, Haan-Gruiten: 39. Aufl. 1994

Material 6

Festigkeitskennwerte

Herbert Wittel et al.: Roloff/Matek Maschinenelemente Tabellenbuch (Seite 1-5), Wiesbaden 2011.

Beiwerte zur Überprüfung der Dauerfestigkeit

Oberflächenbeiwert $b_1$

Größenbeiwert $b_2$ für Kreisquerschnitte

Für andere Querschnittsformen kann etwa gesetzt werden:

bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge $\approx d$; für Rechteck: in Biegeebene liegende Kantenlänge $\approx d$

bei Verdrehung für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale $\approx d$

Alfred Böge: Technologie/Technik Formelsammlung für Fachgymnasien und Fachoberschulen, Wiesbaden 9. Auflage 2008, S. 21.

5.1 Dimensionieren Sie eine Passfeder DIN 6885 Form A für das genormte Wellenende anhand der in der Nabe zulässigen Flächenpressung. Nennen Sie die normgerechte Bezeichnung der dimensionierten Passfeder.

Hinweis: Für die zulässige Flächenpressung soll die Streckgrenze des Nabenwerkstoffs S235 bei 2,5-facher Sicherheit zugrunde gelegt werden (Material 6).

[12 BE]

a)

b)

c)

d)

Die Schneckenradwelle aus E295 hat ein genormtes Wellenende DIN 748-30 x 80 und überträgt ein Torsionsmoment von $M_t = 225\text{ Nm}$ (Material 4 und Material 5). An dieser Stelle hat die Welle eine gemittelte Rautiefe $R_z = 10\ \mu\text{m}$.

Material 4

Schneckenradwelle mit Lagerung, Rillenkugellager DIN 625-6007

Material 5

Wellenenden

Europa-Lehrmittel: Tabellenbuch Metall, Haan-Gruiten: 39. Aufl. 1994

Material 6

Festigkeitskennwerte

Herbert Wittel et al.: Roloff/Matek Maschinenelemente Tabellenbuch (Seite 1-5), Wiesbaden 2011.

Beiwerte zur Überprüfung der Dauerfestigkeit

Oberflächenbeiwert $b_1$

Größenbeiwert $b_2$ für Kreisquerschnitte

Für andere Querschnittsformen kann etwa gesetzt werden:

bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge $\approx d$; für Rechteck: in Biegeebene liegende Kantenlänge $\approx d$

bei Verdrehung für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale $\approx d$

Alfred Böge: Technologie/Technik Formelsammlung für Fachgymnasien und Fachoberschulen, Wiesbaden 9. Auflage 2008, S. 21.

5.2 Überprüfen Sie die Dauerfestigkeit für das genormte Wellenende. Berechnen Sie dazu auch die bestehende Sicherheit. [14 BE]

PKW-Anhänger mit Seilwinde

Einfache PKW-Anhänger mit Ladekasten eignen sich für diverse Transporte von Schütt- und Stückgütern kleiner Mengen und Größen im privaten und gewerblichen Bereich. Als Anbauteil kann eine Seilwinde zum Aufladen schwerer Einzelgüter eine Hilfe sein, z.B. von kurzen Holzstämmen. In einer einfachen, rein mechanischen Ausführung wird der Antrieb der Seilwinde über eine Handkurbel realisiert.

1.1

Der Ladekasten des PKW-Anhängers (Material 1) ist im Innern $2300\text{ mm}$ lang und $1500\text{ mm}$ breit. Seine metallene Bodenplatte lagert auf zwei Hohlprofilen (Stellen A und B), die zum Unterbau des PKW-Anhängers gehören. Die Hohlprofile sind symmetrisch unter der Bodenplatte angeordnet ($a = 575\text{ mm}$). Der Ladekasten ist gleichmäßig mit einer Höhe von $150\text{ mm}$ mit nassem Sand gefüllt ($\rho = 2{,}0\text{ kg/dm}^3$).

Berechnen Sie die Reaktionskräfte an den Stellen der Hohlprofile und zeichnen Sie in Material 1 den Querkraftverlauf.

Berechnen Sie an den Stellen A, M und B das Biegemoment und skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf in Material 1. [25 BE]

1.2

Beurteilen Sie die qualitativen Auswirkungen auf das Biegemoment und die Durchbiegung in der Mitte der Bodenplatte, wenn bei gleicher Ladekastenlänge $L$ die beiden Hohlprofile (Stellen A und B) zum einen weiter mittig und zum anderen weiter außen liegen würden, als in Aufgabe 1.1 angegeben. [5 BE]

Aufgabe 2: Seilwinde am PKW-Anhänger

An dem PKW-Anhänger ist eine Seilwinde angebracht (Material 2, Abb. 2.1), mit der Lasten auf den Ladekasten gezogen werden können. Die Seilwinde wird per Handkraft über eine Handkurbel angetrieben. Die Kurbelwelle ist mit einem Zahnrad 1 verbunden, das die Drehbewegung auf ein Zahnrad 2 überträgt (Material 2, Abb. 2.2). Auf der Welle von Zahnrad 2 liegt starr verbunden ein Zahnrad 3, das ein innenverzahntes Hohlrad (Zahnrad 4) antreibt. Dieses Hohlrad ist Teil der Seiltrommel, an der das Zugseil der Seilwinde befestigt ist. Die Wirkungsgrade jeder Übersetzungsstufe betragen jeweils 95%. Der Modul der Zahnräder ist $m = 4\,\text{mm}$, die Zähnezahlen $z_1 = 11$, $z_2 = 29$, $z_3 = 13$ und $z_4 = 41$.

2.1

Berechnen Sie den Achsabstand $a_{14}$. [5 BE]

2.2

Die verwendeten Zahnräder sind geradverzahnt. Nennen Sie Vor- und Nachteile von Getrieben mit Geradverzahnung gegenüber Getrieben mit Schrägverzahnung und beurteilen Sie, ob die Verwendung von geradverzahnten Zahnrädern für die betrachtete Seilwinde angemessen ist. [5 BE]

2.3

Der Zylinder, auf dem das Seil in der Seiltrommel aufgewickelt wird, hat einen Durchmesser von $80\,\text{mm}$. Das Seil selbst hat einen Durchmesser von $7\,\text{mm}$. Vollständig aufgewickelt beträgt der wirksame Durchmesser $142\,\text{mm}$.

Ermitteln Sie die minimal erforderliche Handkurbellänge $l_\mathrm{H}$, für den Fall, dass bei einer maximal angenommenen Zuglast von $F_\mathrm{Z} = 8000\,\text{N}$ maximal eine Handkraft von $F_\mathrm{H} = 190\,\text{N}$ aufgebracht werden soll. [15 BE]

Die Handkurbel wird aus Rundstahl E335 gefertigt (Material 3). Das Maß beträgt $e = 180\text{ mm}$, die angreifende Handkraft $F_\text{H} = 190\text{ N}$.

Material 3

Abbildung 3.2

Festigkeitskennwerte

Herbert Wittel et al.: Roloff/Matek Maschinenelemente Tabellenbuch, Wiesbaden 2011, S. 1-5.

3.1 Nennen Sie die in diesem Querschnitt auftretenden Beanspruchungsarten. [3 BE]

1.

2.

3.

Die Handkurbel wird aus Rundstahl E335 gefertigt (Material 3). Das Maß beträgt $e = 180\text{ mm}$, die angreifende Handkraft $F_\text{H} = 190\text{ N}$.

Material 3

Abbildung 3.2

Festigkeitskennwerte

Herbert Wittel et al.: Roloff/Matek Maschinenelemente Tabellenbuch, Wiesbaden 2011, S. 1-5.

3.2

Dimensionieren Sie die Handkurbel am betrachteten Querschnitt mit zweifacher Sicherheit auf Dauerfestigkeit.

Hinweis: Wenn Sie die Handkurbellänge in Aufgabe 2.3 nicht ermittelt haben, ist mit einer Handkurbellänge $l_\mathrm{H} = 380\,\mathrm{mm}$ weiterzurechnen.

3.3

Weisen Sie nach, dass die Abscherspannung beim Dimensionieren des Querschnitts vernachlässigt werden kann.

Das hintere Ende des Ladekastens des PKW-Anhängers besitzt eine Ladeklappe, die geöffnet über ein Halteseil in einer geneigten Position gehalten wird, um so das Aufladen eines Gegenstandes mithilfe der Seilwinde zu erleichtern.

Material 4

Abbildung 4.3: Drahtseile (Auswahl)

Nenndurchmesser $d_\mathrm{n}$ in mm · Drahtdurchmesser $d_\mathrm{d}$ in mm

5 · 0,3

6 · 0,4

8 · 0,5

10 · 0,65

12 · 0,8

4.1

Bestimmen Sie die im Halteseil wirkende Kraft $F_{\text{Seil}}$ für die in Material 4, Abbildung 4.1, dargestellte Position, wenn eine auf die Ladeklappe wirkende Kraft $F = 1500\text{ N}$ angenommen wird. [13 BE]

Das hintere Ende des Ladekastens des PKW-Anhängers besitzt eine Ladeklappe, die geöffnet über ein Halteseil in einer geneigten Position gehalten wird, um so das Aufladen eines Gegenstandes mithilfe der Seilwinde zu erleichtern.

Material 4

Abbildung 4.3: Drahtseile (Auswahl)

Nenndurchmesser $d_\mathrm{n}$ in mm · Drahtdurchmesser $d_\mathrm{d}$ in mm

5 · 0,3

6 · 0,4

8 · 0,5

10 · 0,65

12 · 0,8

4.2 Das Halteseil soll aus einem genormten, witterungsbeständigen Stahlseil gefertigt werden, das aus sieben Litzen mit je 19 Drähten besteht (Material 4, Abbildung 4.2).

Dimensionieren Sie das Halteseil aus X5CrNiMo17-12-2 mit 20% Sicherheit gegen dauerhafte Verformung und wählen Sie das mit dem mindestens erforderlichen Nenndurchmesser aus (Material 4, Abbildung 4.3).

Hinweis: Wenn Sie die im Halteseil wirkende Kraft in Aufgabe 4.1 nicht ermittelt haben, ist mit $F_{\text{Seil}} = 3900\,\text{N}$ weiterzurechnen.

a)

b)

c)

d)

Schaltgetriebe

Im Schaltgetriebe (Material 1) wird das Drehmoment von der Antriebswelle (Pos. 11) auf die Abtriebswelle (Pos. 9) übertragen.

Material 2 – Stückliste

Benennung · Normblatt · Werkstoff · Pos.

Scheibenfeder 6x9 · DIN 6888 · St · 40

Zylinderstift 6m6x20 · ISO 2338 · St · 39

Zylinderstift 6m6x16 · ISO 2338 · St · 38

Verschlussschraube M10x1 · DIN 910 · St · 37

Verschlussschraube M16x1,5 · DIN 910 · St · 36

Zylinderschraube M8x16 · DIN 7984 · 5.6 · 35

Zylinderschraube M6x16 · DIN 7984 · 5.6 · 34

Zylinderschraube M4x10 · DIN 7984 · 5.6 · 33

Nutmutter M24x1,5 · DIN 1804 · 8 · 32

Passfeder · DIN 6885 · C45K · 31

Passfeder · DIN 6885 · C45K · 30

Passfeder · DIN 6885 · C45K · 29

Sicherungsring 47x1,75 · DIN 472 · Federstahl · 28

Sicherungsring 25x1,2 · DIN 471 · Federstahl · 27

RWDR A16x30x7 · DIN 3760 · NBR · 26

RWDR A20x35x7 · DIN 3760 · NBR · 25

Nadellager NKJ42-20A · DIN 617 · · 24

Rillenkugellager 6005 · DIN 625 · · 23

Rillenkugellager 16005 · DIN 625 · · 22

Axial-Rillenkugellager 511 06 · DIN 711 · · 21

Rillenkugellager 6205 · DIN 625 · · 20

Dichtring A16x20 · DIN 7603 · Vf · 19

Dichtring A10x14 · DIN 7603 · Vf · 18

Dichtung · · Elastomer · 17

Dichtung · · Elastomer · 16

Dichtung · · Elastomer · 15

Dichtung · · Elastomer · 14

Distanzbuchse · · S235JR · 13

Buchse · · CuSn8 · 12

Antriebswelle · · 41CrMo4 · 11

Ritzelwelle · · 41CrMo4 · 10

Abtriebswelle · · 41CrMo4 · 9

Stirnrad · $m = 1\,\text{mm}$ · EN-GJS-700-2U · 8

Stirnrad · $m = 1\,\text{mm}$ · 46SPb20 · 7

Verschlussdeckel · · EN-GJL-200 · 6

Verschlussdeckel · · EN-GJL-200 · 5

Verschlussdeckel · · EN-GJL-200 · 4

Verschlussdeckel · · EN-GJL-200 · 3

Gehäuseoberteil · · EN-GJL-200 · 2

Gehäuseunterteil · · EN-GJL-200 · 1

1.1

Analysieren Sie die Zeichnung und nennen Sie alle Bauteile, die an der Drehmomentübertragung beteiligt sind, mit Angabe der Positionsnummer und der Art der Kraftübertragung in der Reihenfolge des Kraftflusses (Material 1 und 2). [6 BE]

1.2

Beschreiben Sie die Funktionsweise des Schaltvorganges. [4 BE]

1.3

Die Abtriebswelle (Pos. 9) besteht am linken Ende aus einem Gewinde und einem Kegelstumpf mit einer Scheibenfeder (Pos. 40). Erläutern Sie die Verwendung des Wellenendes. [5 BE]

In der in Material 1 dargestellten Schaltstellung (I) treibt die Ritzelwelle (Pos. 10) mit 35 Zähnen das Stirnrad (Pos. 7) mit 145 Zähnen an. An der Abtriebswelle (Pos. 9) soll eine Leistung von $P = 1{,}9\,\mathrm{kW}$ bei einer Drehzahl von $700\,\mathrm{min}^{-1}$ abgegeben werden. Der Wirkungsgrad des Getriebes ist $95\,\%$.

2.1

Berechnen Sie für die in Material 1 dargestellte Schaltstellung das Abtriebsdrehmoment sowie die an der Antriebswelle (Pos. 11) einzuspeisende Leistung und das Antriebsdrehmoment. [8 BE]

2.2

Überprüfen Sie, ob in der anderen Schaltstellung (II, Material 3) eine Übersetzung von $i = 5$ möglich ist und berechnen Sie die dazu erforderlichen Zähnezahlen $z_3$ und $z_4$. [8 BE]

Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstäblich.

3 Die Schraubenverbindung der Stirnräder (Pos. 7 und 8) besteht aus acht Schrauben (Pos. 34) und soll das vorhandene Drehmoment mit 15-facher Sicherheit übertragen. Der wirksame Reibdurchmesser beträgt $125\,\text{mm}$. Die Stirnräder und Schrauben werden trocken montiert, weshalb von einem Reibungskoeffizienten von $0{,}2$ auszugehen ist. Die Schrauben sollen maximal bis zu $60\,\%$ der Streckgrenze belastet werden.

3.1

Analysieren Sie die Schraubenverbindungen hinsichtlich der auftretenden Beanspruchungen und überprüfen Sie, ob der gewählte Schraubentyp dieser Beanspruchung standhält.

Hinweis: Wenn Sie das Abtriebsdrehmoment in Aufgabe 2.1 nicht ermittelt haben, ist mit $M = 26{,}3\,\text{Nm}$ weiterzurechnen.

[13 BE]

3.2

Gehen Sie davon aus, dass die Schraubenverbindung in Aufgabe 3.1 der auftretenden Beanspruchung nicht standhält. Beschreiben Sie eine für diesen Fall angemessene Lösungsmöglichkeit mit möglichst geringem konstruktivem Aufwand und weisen Sie deren Wirksamkeit nach.

Hinweis: Wenn Sie die in den Schrauben vorhandene Zugspannung nicht ermittelt haben, ist mit $\sigma = 230\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$ weiterzurechnen.

[4 BE]

3.3

Berechnen Sie das erforderliche Anzugsdrehmoment für die Schrauben (Pos. 34) mithilfe von Material 4.

Material 4: Schraubenberechnung

Erforderliches Anziehdrehmoment $M_\text{A}$:

$$M_\text{A} = F_\text{VM} \left[ \frac{d_2}{2} \tan(\alpha + \rho') + \mu_\text{A} \cdot 0{,}7\,d \right]$$

$M_\text{A}$ · $F_\text{VM}$ · $d_2, d$ · $\mu_\text{A}$

Nmm · N · mm · 1

$F_\text{VM}$: Montagevorspannkraft

$d_2$: Flankendurchmesser am Gewinde

$d$: Gewindedurchmesser (zum Beispiel ist für das Gewinde M10 der Durchmesser $d = 10\,\text{mm}$)

$\alpha$: Steigungswinkel am Gewinde

$\rho'$: Reibwinkel am Gewinde

$\mu_\text{A}$: Gleitreibzahl der Kopf- oder Mutterauflagefläche ($\mu_\text{A} \approx 0{,}1$ für St/St, trocken; $\mu_\text{A} \approx 0{,}15$ für St/GG, trocken)

Richtwerte für Reibzahlen $\mu'$ und Reibwinkel $\rho'$ für metrisches ISO-Regelgewinde:

Hinweis: Wenn Sie die Spannkraft pro Schraube in Aufgabe 3.1 nicht ermittelt haben, ist mit $F_\text{VM} = 4{,}36\,\text{kN}$ weiterzurechnen.

[10 BE]

Die Kraftübertragung von dem Stirnrad (Pos. 8) auf die Abtriebswelle (Pos. 9) erfolgt durch eine Passfeder vom Typ A (Pos. 30). Der Wellendurchmesser an dieser Stelle beträgt $30\,\text{mm}$.

Dimensionieren Sie bei einer zulässigen Flächenpressung von $50\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$ die Passfeder.

Hinweis: Wenn Sie das an der Passfeder wirksame Drehmoment nicht ermittelt haben, ist mit $M = 26{,}3\,\text{Nm}$ weiterzurechnen.

1.

2.

3.

An der Abtriebswelle (Pos. 9) greift in Höhe der Scheibenfeder (Pos. 40) die Kraft $F_1 = 500\text{ N}$ an (Material 5). Das Schaltgetriebe befindet sich nun in Schaltstellung II, in der über die Abtriebswelle ein Drehmoment von $M_t = 33\text{ Nm}$ übertragen wird.

Material 5: Räumliches Belastungsschema Abtriebswelle Pos. 9 in Schaltstellung II

5.1

Machen Sie die Abtriebswelle (Pos. 9) frei und berechnen Sie die in den Lagern (Pos. 20 und 24) wirkenden Kräfte.

Hinweise: Der Modul des Stirnrades Pos. 8 ist $m = 1\text{ mm}$.

Wenn Sie die Zähnezahl von Stirnrad Pos. 8 in Aufgabe 2.2 nicht ermittelt haben, ist mit der Zähnezahl $z_4 = 160$ weiterzurechnen.

[12 BE]

5.2

Zeichnen Sie den Verlauf von Querkraft- und Biegemoment in zwei Ebenen und bestimmen Sie die Position und den Betrag des maximalen Biegemoments.

[6 BE]

6 Die Abtriebswelle (Pos. 9) soll im Hinblick auf ihre Dauerfestigkeit überprüft werden.

6.1

Ermitteln Sie den Wellendurchmesser am Lager A (Pos. 20). [2 BE]

6.2

Überprüfen Sie, ob die Abtriebswelle (Pos. 9) am Lager A (Pos. 20) bei geforderter 4-facher Sicherheit in Schaltstellung II korrekt dimensioniert ist (Material 6 und 7). [15 BE]

Hinweise: Die Einflüsse der hier geschliffenen Wellenoberfläche, des Wellendurchmessers und der Freistiche sind zu berücksichtigen.

Wenn Sie die erforderlichen Ergebnisse zur Überprüfung des Spannungssystems der Welle nicht ermittelt haben, ist mit einem Biegemoment von $40\,\mathrm{Nm}$, einem Torsionsmoment von $30\,\mathrm{Nm}$ und einem Wellendurchmesser von $28\,\mathrm{mm}$ weiterzurechnen.