Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2022

2: Se dice que una matriz cuadrada $A$ es idempotente si cumple que $A^2 = A$.

a)

[0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente, calcule razonadamente $A^{2022}$.

b)

[0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente y regular (o inversible), calcule razonadamente su determinante.

c)

[1 p.] Determine para qué valores de $a$ y $b$ la siguiente matriz es idempotente:

$$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$