Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2022

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2022)

Enunciado

2: [2,5 p.] Considere las matrices

A=(0341−4−5−134)yB=(100110111).A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

a)

[1 p.] Si II denota la matriz identidad de orden 3, compruebe que A3=−IA^3 = -I y calcule A2023A^{2023}.

b)

[0,5 p.] Calcule la inversa de AA.

c)

[1 p.] Resuelva la ecuación matricial AX−BT=A2AX - B^T = A^2, donde BTB^T denota la matriz traspuesta de BB.

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Compruebe que A3=−IA^3 = -I

Solución: A2=(−101144−1−3−3)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}, A3=A2A=−IA^3 = A^2 A = -I

a) Elemento (1,1) de A2023A^{2023}

Solución: 0

a) Elemento (1,2) de A2023A^{2023}

Solución: 3

a) Elemento (1,3) de A2023A^{2023}

Solución: 4

a) Elemento (2,1) de A2023A^{2023}

Solución: 1

a) Elemento (2,2) de A2023A^{2023}

Solución: -4

a) Elemento (2,3) de A2023A^{2023}

Solución: -5

a) Elemento (3,1) de A2023A^{2023}

Solución: -1

a) Elemento (3,2) de A2023A^{2023}

Solución: 3

a) Elemento (3,3) de A2023A^{2023}

Solución: 4

b) Elemento (1,1) de A−1A^{-1}

Solución: 1

b) Elemento (1,2) de A−1A^{-1}

Solución: 0

b) Elemento (1,3) de A−1A^{-1}

Solución: -1

b) Elemento (2,1) de A−1A^{-1}

Solución: -1

b) Elemento (2,2) de A−1A^{-1}

Solución: -4

b) Elemento (2,3) de A−1A^{-1}

Solución: -4

b) Elemento (3,1) de A−1A^{-1}

Solución: 1

b) Elemento (3,2) de A−1A^{-1}

Solución: 3

b) Elemento (3,3) de A−1A^{-1}

Solución: 3

c) Expresión correcta de XX en términos de AA, A−1A^{-1} y BTB^T

Solución: X=A+A−1BTX = A + A^{-1} B^T / X=A−1(A2+BT)X = A^{-1}(A^2 + B^T)

c) Elemento (1,1) de XX

Solución: 0

c) Elemento (1,2) de XX

Solución: 2

c) Elemento (1,3) de XX

Solución: 3

c) Elemento (2,1) de XX

Solución: 2

c) Elemento (2,2) de XX

Solución: -7

c) Elemento (2,3) de XX

Solución: -8

c) Elemento (3,1) de XX

Solución: 0

c) Elemento (3,2) de XX

Solución: 4

c) Elemento (3,3) de XX

Solución: 5

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