Ejercicio B1 · Dibujo técnico II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2022

Dada una elipse definida por sus ejes AB y CD, trazar por el punto P las rectas tangentes a la misma, señalando los puntos de tangencia.

Solución: Construcción gráfica: 1. Determinación de los focos $F_1$ y $F_2$ con centro en $C$ o $D$ y radio $a = AB/2$. 2. Trazado de la circunferencia focal de centro $F_1$ y radio $2a = AB$. 3. Circunferencia con centro en $P$ y radio $PF_2$ para determinar los puntos simétricos $S_1$ y $S_2$ de $F_2$ sobre la circunferencia focal. 4. Las rectas tangentes son las mediatrices de los segmentos $F_2S_1$ y $F_2S_2$ (pasan por $P$). 5. Los puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$ se obtienen uniendo el foco $F_1$ con $S_1$ y $S_2$, en su intersección con las respectivas tangentes.

Justificar razonadamente el fundamento de la construcción empleada.

Solución: Los simétricos de un foco respecto a cada tangente pertenecen a la circunferencia focal correspondiente al otro foco. Los simétricos de $F_2$, $S_1$ y $S_2$, se determinan en la circunferencia focal de centro $F_1$ mediante arco con centro en $P$ y radio $PF_2$. Las tangentes son las mediatrices de $F_2S_1$ y $F_2S_2$. Los puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$ resultan de la intersección de las tangentes con las rectas que unen $F_1$ con $S_1$ y $S_2$.