Pregunta 1 - Ejercicio 1a · Dibujo técnico II PAU Castilla-La Mancha Ordinaria 2026

Dada una elipse definida por uno de sus focos F, una recta tangente t y su punto de tangencia P. Se pide: Determinar el foco F', sabiendo que la longitud del eje mayor es igual al triple del segmento FP. Determinar los ejes mayor y menor de la elipse. Dibujar la curva. Trazar la normal a la elipse en el punto P justificando su construcción.

Solución: 1. Determinar el punto simétrico de $F$ respecto de la tangente $t$, $F_s$. 2. La recta que une $P$ con $F_s$ contiene al otro foco $F'$. Como la longitud del eje mayor es $2a = 3\cdot FP$, y por la definición de elipse $FP + F'P = 2a$, se deduce que $F'P = 2a - FP = 2\cdot FP$. Llevando sobre la semirrecta $PF_s$ (a partir de $P$ en sentido opuesto a $F_s$) la distancia $2\cdot FP$, se obtiene el foco $F'$. 3. La recta que une $F$ y $F'$ define la dirección del eje mayor. 4. El punto medio del segmento $FF'$ es el centro $O$ de la elipse. Sobre la recta focal se sitúan los vértices $A$ y $B$ a distancia $a = \frac{3}{2}FP$ de $O$. El eje menor se traza perpendicular al eje mayor por $O$, con semieje $b$ tal que $b^2 = a^2 - c^2$ (haciendo centro en $F$ con radio $a$ para cortar a la perpendicular en los extremos $C$ y $D$). 5. Se dibuja la elipse mediante puntos o plantilla de curvas. 6. La normal en el punto $P$ es la bisectriz del ángulo formado por los radios vectores $PF$ y $PF'$ (perpendicular a la tangente $t$ en $P$).