Bloque B - 1 · Dibujo técnico II PAU Canarias Julio 2024

Dado el punto A, representar las proyecciones diédricas del TETRAEDRO ABCD, sabiendo que A y B están contenidos en el Plano Horizontal de proyección, que el punto C tiene un incremento de cota de 3 cm. respecto a los puntos A y B, y que la base ABC está contenida en un plano Proyectante Vertical y, el lado de la base del Tetraedro mide 7 cm. Dibujar un plano horizontal β que contiene al punto medio de la altura trazada desde la base ABC al vértice D. Hallar la Sección y la Verdadera Magnitud de dicha sección producida al Tetraedro por el plano β.

Solución: Pasos de resolución gráfica: 1. Plano de la base y puntos A, B, C: - A y B están en el PH (cota 0) y el plano α de la base es proyectante vertical. Por tanto AB está sobre su traza horizontal hα, que es perpendicular a LT y pasa por $A_1$; $B_1$ queda sobre esa perpendicular a 7 cm de $A_1$, y $A_2 \equiv B_2$ en la LT. - Se abate α sobre el PH y se construye el triángulo equilátero ABC de lado 7 cm. La altura del triángulo es $7\sqrt3/2 \approx 6{,}06$ cm. - Se desabate C sabiendo que su cota es 3 cm: con centro en $A_2$ y radio 6,06 cm se corta la paralela a LT a cota 3, lo que da $C_2$ y la traza Vα (que pasa por $A_2$ y $C_2$). Resulta $\sin\theta = 3/6{,}06$, es decir, $\theta \approx 29{,}7^\circ$ con el PH. - $C_1$ está en la perpendicular a LT por $C_2$, a la altura del punto medio de $A_1B_1$. En planta, C queda a $\approx 5{,}27$ cm de hα. 2. Vértice D del tetraedro: - El baricentro O tiene cota 1 cm y está a $\approx 1{,}76$ cm de hα. - La altura del tetraedro es $H = 7\sqrt{2/3} \approx 5{,}72$ cm. - Por O se traza la perpendicular a α: en proyección vertical es perpendicular a Vα, y en horizontal es paralela a LT. - Se lleva H en verdadera magnitud (en la proyección vertical, que la da directamente) hacia arriba. Se obtiene D de cota $\approx 5{,}97$ cm, desplazado $\approx 1{,}07$ cm al otro lado de hα respecto de C. - Se dibujan las aristas con su visibilidad. 3. Plano de sección β: - El punto medio M de OD tiene cota $1 + 2{,}86\cos\theta \approx 3{,}48$ cm. - Vβ es la paralela a LT por $M_2$ (β no tiene traza horizontal). 4. Sección y Verdadera Magnitud: - Como β (cota ≈ 3,48) queda por encima de A, B y C y por debajo de D, corta a las aristas AD, BD y CD. Los puntos $1_2, 2_2, 3_2$ salen sobre Vβ y se refieren a la proyección horizontal de cada arista, dando $1_1, 2_1, 3_1$. - La base no es paralela a β, así que la sección NO es semejante a la base. Es un triángulo isósceles: - $1$ y $2$ (en AD y BD) están a 1,46 cm a cada lado del eje, a $\approx 0{,}63$ cm de hα del lado de D, con $1\text{-}2 \approx 2{,}91$ cm. - $3$ (en CD) está sobre el eje, a $\approx 4{,}24$ cm de hα del lado de C. - Lados iguales $1\text{-}3 = 2\text{-}3 \approx 5{,}08$ cm. - Por ser β paralelo al PH, la proyección horizontal $1_1 2_1 3_1$ es directamente la verdadera magnitud de la sección.