Problema 1 · Física PAU Baleares Ordinaria 2025

1. Isaac Newton va deduir que el quocient entre el període orbital al quadrat i el semieix major de l'òrbita al cub d'un planeta que orbita al voltant d'una estrella era

$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_{\text{estrella}} + M_{\text{planeta}})}$$

a)

Descriviu de manera breu i concisa per què aquesta expressió va servir per justificar la tercera llei de Kepler. [0,6 punts]

b)

La massa de l'estrella $\alpha$-centauri B és $M_B = 1{,}789 \times 10^{30}\text{ kg}$. Determinau el valor del quocient $T^2/a^3$ per a un sistema planetari al voltant d'aquesta estrella. [0,4 punts]

c)

Calculau el període orbital en anys d'un hipotètic planeta que orbitàs al voltant de l'estrella $\alpha$-centauri B amb una òrbita el·líptica amb el periastre a $0{,}45\text{ ua}$ i l'apoastre a $0{,}60\text{ ua}$. [0,6 punts]

d)

L'any 2012, l'Observatori Europeu Austral anuncià el descobriment d'un planeta que orbitava al voltant de l'estrella $\alpha$-centauri B. Es determinà que tenia una massa semblant a la de la Terra i que el seu període orbital era de $3{,}2357\text{ dies}$. Calculau la longitud en unitats astronòmiques del semieix major de l'òrbita d'aquest planeta usant la tercera llei de Kepler. [0,4 punts]