Examen de Álgebra UB 2015 · Punt de Control 1r Semestre (Novembre 2015)

Exercici 1 (4 punts). Determinants i sistemes lineals

a.

Justifiqueu que el determinant següent s'anul·la sense emprar en cap moment el desenvolupament per adjunts ni la regla de Sarrus, aplicant exclusivament propietats dels determinants:

$$\begin{vmatrix} 2 & 2x & -4 \\ -2 & x & 1 \\ 1 & -2x & 1 \end{vmatrix} = 0$$

[1 punt]

Exercici 1 (4 punts). Determinants i sistemes lineals

b.

Considereu el sistema lineal següent:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 1 \\ y - z = b \\ x + 3y = a \end{cases}$$

Feu la discussió del sistema classificant-lo segons els diferents valors que puguin prendre els paràmetres reals $a$ i $b$. Recolliu les conclusions en una taula resum. (2 punts)

c.

Per al cas concret $a = 1$ i $b = 0$, determineu la solució del sistema fent servir la regla de Cramer. (1 punt)

Exercici 2 (6 punts). Espais vectorials de matrius

En l'espai vectorial de les matrius reals d'ordre dos, $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu les qüestions que segueixen:

a.

Determineu quins valors han de prendre els paràmetres $a$ i $b$ per tal que la família de tres matrius següent sigui linealment dependent:

$$\left\{ \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

b.

Es considera el subconjunt $F$ definit per:

$$F = \left\{ A \in M_{2\times 2} \;\middle|\; A = \begin{pmatrix} a & K\cdot a \\ b & a+b \end{pmatrix}, \; a,b \in \mathbb{R} \right\} \quad \text{amb } K \in \mathbb{R}$$

Per a quins valors de la constant real $K$ aquest subconjunt té estructura de subespai vectorial de $M_{2\times 2}$?

c.

Fixant el valor $K = 0$, trobeu una base per al subespai $F$ i calculeu-ne la dimensió.

Exercici 2 (6 punts). Espais vectorials de matrius

En l'espai vectorial de les matrius reals d'ordre dos, $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu les qüestions que segueixen:

d.

Es defineix el subespai vectorial generat per la base $S = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$. Determineu si la matriu $M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ pertany a $\langle S \rangle$. Si hi pertany, indiqueu el seu vector de coordenades en la base $S$ ($M|_S$).

e.

Donada la base canònicament escalada $B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \right\}$ de $M_{2\times 2}$, calculeu les coordenades de la matriu $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ respecte a la base $B$ ($N|_B$) i respecte a la base $S$ ($N|_S$) de l'apartat anterior.

f.

Si se sap que un determinat vector $V$ té com a components $V|_S = (2, 0)$ respecte a la base $S$ de l'apartat d), trobeu la matriu $V$.