Exercici 2.d-f - Coordenades i bases · Álgebra UB 2015

Exercici 2 (6 punts). Espais vectorials de matrius

En l'espai vectorial de les matrius reals d'ordre dos, $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu les qüestions que segueixen:

d.

Es defineix el subespai vectorial generat per la base $S = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$. Determineu si la matriu $M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ pertany a $\langle S \rangle$. Si hi pertany, indiqueu el seu vector de coordenades en la base $S$ ($M|_S$).

e.

Donada la base canònicament escalada $B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \right\}$ de $M_{2\times 2}$, calculeu les coordenades de la matriu $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ respecte a la base $B$ ($N|_B$) i respecte a la base $S$ ($N|_S$) de l'apartat anterior.

f.

Si se sap que un determinat vector $V$ té com a components $V|_S = (2, 0)$ respecte a la base $S$ de l'apartat d), trobeu la matriu $V$.