Exercici 2.a-c - Espais vectorials i subespais · Álgebra UB 2015

Exercici 2 (6 punts). Espais vectorials de matrius

En l'espai vectorial de les matrius reals d'ordre dos, $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu les qüestions que segueixen:

a.

Determineu quins valors han de prendre els paràmetres $a$ i $b$ per tal que la família de tres matrius següent sigui linealment dependent:

$$\left\{ \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

b.

Es considera el subconjunt $F$ definit per:

$$F = \left\{ A \in M_{2\times 2} \;\middle|\; A = \begin{pmatrix} a & K\cdot a \\ b & a+b \end{pmatrix}, \; a,b \in \mathbb{R} \right\} \quad \text{amb } K \in \mathbb{R}$$

Per a quins valors de la constant real $K$ aquest subconjunt té estructura de subespai vectorial de $M_{2\times 2}$?

c.

Fixant el valor $K = 0$, trobeu una base per al subespai $F$ i calculeu-ne la dimensió.