Examen de Matemàtiques UB 2024 · Prova de Síntesi (Part 2A) - Febrer 2024

PROBLEMA 1 [2 punts]. Màxim i evolució temporal de l'alga invasora

La densitat d'una alga invasora ( Rugulopteryx okamurae) en funció del temps $x$ (en mesos) es modelitza mitjançant la funció:

$$f(x) = x e^{-3x^2}$$

Determineu l'instant temporal en què s'assoleix la densitat màxima (si existeix), així com l'evolució de l'alga a llarg termini.

a)

mesos

b)

c)

PROBLEMA 2 (2 punts). Model cel·lular d'implantació de cartílag

La densitat cel·lular $y(t)$ al cap de $t$ mesos després d'una intervenció regenerativa de cartílag segueix l'equació diferencial:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{2y}{5}$$

Si la densitat cel·lular a temps $t = 1$ mes és de $0.4$ unitats, calculeu quina serà la densitat quan hagin transcorregut $6$ mesos.

PROBLEMA 3 (1 punts). Optimització d'un transsecte el·líptic

Es vol definir un transsecte amb geometria el·líptica d'àrea $\text{Àrea} = \pi a b$, on $a$ i $b$ són els semieixos. Situant l'el·lipse sobre els eixos cartesians, passa pels punts $(a,0)$ i $(0,b)$, estant aquests dos punts separats per una distància constant de 4 unitats.

Determineu els valors de $a$ i $b$ que maximitzen l'àrea delimitada i calculeu el valor d'aquesta àrea màxima.

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat. Els individus de la classe 1 tenen una fertilitat mitjana de 4 cries, mentre que els de la classe 2 en tenen 0.3. La supervivència de la primera classe d'edat a la segona és del 20%. Inicialment hi ha 200 individus de cada classe.

LISTADO 1

A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 0.4 0.2

LISTADO 2

A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 1.0569179 -0.7569179

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

LISTADO 3

A<-matrix(c(0.3,0.2,4.0,0.0),byrow=TRUE,nrow=2)

LISTADO 4

A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 4.01494417 -0.01494417

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

PROBLEMA 4 - APARTAT 1 (0.5 punts). Matriu de Leslie d'una població de peixos

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat. Els individus de la classe 1 tenen una fertilitat mitjana de 4 cries, mentre que els de la classe 2 en tenen 0.3. La supervivència de la primera classe d'edat a la segona és del 20%. Inicialment hi ha 200 individus de cada classe.

LISTADO 1

A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 0.4 0.2

LISTADO 2

A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 1.0569179 -0.7569179

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

LISTADO 3

A<-matrix(c(0.3,0.2,4.0,0.0),byrow=TRUE,nrow=2)

LISTADO 4

A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 4.01494417 -0.01494417

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

a.

Justifiqueu si la població creix, decreix o es manté estable.

b.

Calculeu el percentatge d'individus de cada grup d'edat a llarg termini.

%

%

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat. Els individus de la classe 1 tenen una fertilitat mitjana de 4 cries, mentre que els de la classe 2 en tenen 0.3. La supervivència de la primera classe d'edat a la segona és del 20%. Inicialment hi ha 200 individus de cada classe.

LISTADO 1

A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 0.4 0.2

LISTADO 2

A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 1.0569179 -0.7569179

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

LISTADO 3

A<-matrix(c(0.3,0.2,4.0,0.0),byrow=TRUE,nrow=2)

LISTADO 4

A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 4.01494417 -0.01494417

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

PROBLEMA 4 - APARTAT 2 (1 punt). Punts crítics de la funció d'avaluació de l'aigua

Un model d'avaluació de la qualitat de l'aigua ve descrit per la funció:$$f(x,y) = x^3 - 6xy + y^3 - 15$$Trieu, justificant la resposta mitjançant càlculs, quina és l'afirmació correcta:

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat. Els individus de la classe 1 tenen una fertilitat mitjana de 4 cries, mentre que els de la classe 2 en tenen 0.3. La supervivència de la primera classe d'edat a la segona és del 20%. Inicialment hi ha 200 individus de cada classe.

LISTADO 1

A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 0.4 0.2

LISTADO 2

A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 1.0569179 -0.7569179

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

LISTADO 3

A<-matrix(c(0.3,0.2,4.0,0.0),byrow=TRUE,nrow=2)

LISTADO 4

A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 4.01494417 -0.01494417

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

PROBLEMA 4 - APARTAT 3 (0.5 punts). Modelització de la concentració de plaguicida

Un pou de regants conté $3000\text{ m}^3$ d'aigua amb una concentració de $2\text{ g/m}^3$ d'un plaguicida (DDT). Per netejar-lo, s'introdueix aigua amb una concentració de $0.1\text{ g/m}^3$ a raó de $50\text{ m}^3/\text{h}$. Alhora, l'aigua ben barrejada s'extreu a la mateixa velocitat.

Escriviu (sense resoldre) l'equació diferencial amb condicions inicials que regeix la quantitat total $y(t)$ de DDT al pou.

$\frac{dy}{dt} =$

$y(0) =$

Considereu una població de peixos estructurada en dues classes d'edat. Els individus de la classe 1 tenen una fertilitat mitjana de 4 cries, mentre que els de la classe 2 en tenen 0.3. La supervivència de la primera classe d'edat a la segona és del 20%. Inicialment hi ha 200 individus de cada classe.

LISTADO 1

A<-matrix(c(0.2,0,0.3,0.4),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 0.4 0.2

LISTADO 2

A<-matrix(c(0.3,4,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 1.0569179 -0.7569179

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9825630 -0.9668191

[2,] 0.1859299 0.2554621

LISTADO 3

A<-matrix(c(0.3,0.2,4.0,0.0),byrow=TRUE,nrow=2)

LISTADO 4

A<-matrix(c(4,0.3,0.2,0),byrow=TRUE,nrow=2)

$values: 4.01494417 -0.01494417

$vectors:

[,1] [,2]

[1,] 0.9987616 -0.07451312

[2,] 0.0497522 0.99722003

PROBLEMA 4 - APARTAT 4 (0.5 punts). Determinació de vector i valor propi

Comproveu si el vector $v = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ és vector propi de la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. En cas afirmatiu, indiqueu el valor propi associat; en cas negatiu, raoneu el motiu.

Sí

No

$\lambda =$