Examen de Análisis Matemático I URV 2024 · parcial - Novembre 2024 (Variant B)

Pregunta 1 (2 punts). Producte de les arrels sisenes de la unitat

Proveu raonadament que si es multipliquen entre si totes les arrels sisenes del nombre real 1, el resultat que s'obté és igual a -1.

Pregunta 2 (2 punts). Domini, injectivitat i funció inversa

Sigui la funció de variable real expressada per:

$$f(x) = \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$$

a.

Determineu el seu domini de definició.

b.

Analitzeu si $f$ admet inversa; si en té, deduïu la seva expressió analítica així com el domini corresponent.

Sí

No

Pregunta 3 (2 punts). Càlcul d'un límit indeterminat

Calculeu el valor del següent límit:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x \tan x + x}{x} \right)^{\frac{1}{\sin x}}$$

Pregunta 4 (2 punts). Estudi i classificació de discontinuïtats

Donada la funció $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida a trossos per:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e}{1 + 2^{1/x}}, & \text{si } x \neq 0 \\[1em] 0, & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

Identifiqueu i classifiqueu de manera justificada tots els seus punts de discontinuïtat.

a)

b)

Calculeu els límits laterals en aquest punt:

c)

d)

Pregunta 5 (2 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció

Estudieu la continuïtat i la derivabilitat a tot $\mathbb{R}$ de la funció $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida per:

$$f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 \sin\left(\frac{1}{x - 1}\right), & \text{si } x \neq 1 \\ 0, & \text{si } x = 1 \end{cases}$$

a)

b)

Desenvolupeu l'estudi de la continuïtat i de la derivabilitat tant per a $x \neq 1$ com per a $x = 1$, justificant el càlcul del límit i la conclusió global a tot $\mathbb{R}$: