Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2020 · Primer Parcial. Novembre 2020

Trobeu quina condició ha de satisfer el coeficient constant $\alpha$ per tal que l'equació diferencial $$x^2 + y^3 + \alpha x y^2 y' = 0$$ sigui exacta. En aquest cas, determineu la forma general de les solucions de l'equació.

1.

2.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial $$y'' - 5y' + 6y = e^{3x}$$ i determineu posteriorment la solució particular que satisfà les condicions inicials $y(0) = 0$ i $y'(0) = 0$.

1.

2.

Considereu el sistema d'equacions diferencials lineal $$\begin{cases} x' = -2x + 2y \\ y' = 2x - 5y \end{cases}$$

a)

$\lambda_1 =$ $\lambda_2 =$

b)

Determineu la solució que satisfà les condicions inicials $x(0) = 3$, $y(0) = -3$:

Problema 4 (3 punts). Sistema no lineal al pla

Considereu el sistema autònom no lineal

$\begin{cases}

x' = 4x - 2x^2 - xy = x(4 - 2x - y) \\

y' = y - y^2 - 2xy = y(1 - y - 2x)

\end{cases}$

Trobeu tots els seus punts crítics i determineu de quin tipus són i quina és la seva estabilitat. Si es parteix d'unes condicions inicials tals que $x(0) > 0$ i $y(0) > 0$, raoneu si és possible determinar quin serà l'estat final del sistema.

Punts crítics i classificació: