Problema 4 · Matemáticas Aplicadas URL 2020
Tema: Sistemas de EDO, retrato de fase y estabilidad · Del examen Examen Primer Parcial. Novembre 2020 (2020)
Enunciado
Problema 4 (3 punts). Sistema no lineal al pla
Considereu el sistema autònom no lineal
$\begin{cases}
x' = 4x - 2x^2 - xy = x(4 - 2x - y) \\
y' = y - y^2 - 2xy = y(1 - y - 2x)
\end{cases}$
Trobeu tots els seus punts crítics i determineu de quin tipus són i quina és la seva estabilitat. Si es parteix d'unes condicions inicials tals que i , raoneu si és possible determinar quin serà l'estat final del sistema.
Punts crítics i classificació:
Solución
Según los criterios oficiales de corrección
Primer punt crític (coordenades (x, y))
Solución: (0, 0)
Segon punt crític (coordenades (x, y))
Solución: (0, 1)
Tercer punt crític (coordenades (x, y))
Solución: (2, 0)
Tipus i estabilitat de P_1 = (0, 0)
Solución: Node inestable (repulsor)
Tipus i estabilitat de P_2 = (0, 1)
Solución: Punt de sella (inestable)
Tipus i estabilitat de P_3 = (2, 0)
Solución: Node asimptòticament estable (atractor)
Estat final del sistema per a x(0) > 0 i y(0) > 0 (punt límit)
Solución: (2, 0)
Raonament de l'evolució asimptòtica
Solución: El primer quadrant és invariant ja que els eixos són solucions particulars. A més no hi ha punts d'equilibri a l'interior ni òrbites periòdiques. Comparant el creixement relatiu: , per tant i . Com que l'únic atractor és (2,0), qualsevol trajectòria amb convergeix a (2,0).
La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium
Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.
‹ Problema 3 · 2020 · Exercici 1 · 2018 ›