Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2015 · Primer Parcial (18 de novembre de 2015)

Problema 1. Extrems relatius i absoluts d'una funció de dues variables

Sigui la funció de dues variables reals $f(x, y) = x^2 + y^2 - x - y + 1$.

a.

Localitzeu els punts crítics que pertanyen a l'interior del cercle unitari, és a dir, a la regió $x^2 + y^2 < 1$, i classifiqueu-los segons la seva naturalesa.

$($

$,$

$)$

b.

Determineu els valors màxim i mínim que assoleix la funció sobre la frontera circular $x^2 + y^2 = 1$.

c.

Identifiqueu en quins punts del disc tancat $x^2 + y^2 \le 1$ la funció $f$ arriba als seus extrems absoluts (màxim i mínim absoluts).

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

Avalueu la integral de línia $\int_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{s}$, on el camp vectorial és $\boldsymbol{F}(x, y, z) = xz\,\boldsymbol{i} - yz\,\boldsymbol{k}$ i la corba $C$ és el segment de recta orientat que uneix el punt $(-1, 2, 0)$ amb el punt $(3, 0, 1)$.

Sigui $S$ el tros de superfície d'equació $z = xy$ definit sobre el domini $x^2 + y^2 < 1$. Trobeu el flux del camp vectorial $\boldsymbol{F} = y\,\boldsymbol{i} + x\,\boldsymbol{j} + z\,\boldsymbol{k}$ que creua la superfície $S$ orientada amb la normal apuntant cap amunt.

Problema 4. Volum i centroide d'una regió sòlida

Considerem el sòlid $G \subset \mathbb{R}^3$ delimitat lateralment per la superfície cilíndrica $x^2 + (y - 1)^2 = 1$, inferiorment pel pla $z = 0$, i superiorment pel paraboloide $z = x^2 + y^2$.

a.

Calculeu el volum de la regió $G$.

b.

Determineu la coordenada $z$ del centroide de $G$, considerant que la massa es troba distribuïda amb densitat constant.