Problema 1 · Matemáticas Aplicadas URL 2015

Tema: Cálculo en varias variables: extremos e integrales múltiples, de línea y de superficie · Del examen Examen Primer Parcial (18 de novembre de 2015) (2015)

Enunciado

Problema 1. Extrems relatius i absoluts d'una funció de dues variables

Sigui la funció de dues variables reals $f(x, y) = x^2 + y^2 - x - y + 1$ .

Localitzeu els punts crítics que pertanyen a l'interior del cercle unitari, és a dir, a la regió $x^2 + y^2 < 1$ , i classifiqueu-los segons la seva naturalesa.

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Determineu els valors màxim i mínim que assoleix la funció sobre la frontera circular $x^2 + y^2 = 1$ .

Identifiqueu en quins punts del disc tancat $x^2 + y^2 \le 1$ la funció $f$ arriba als seus extrems absoluts (màxim i mínim absoluts).

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Enunciado: Problema 1 · Matemáticas Aplicadas URL 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Coordenada $x$ del punt crític interior

Solución: $1/2$

a. Coordenada $y$ del punt crític interior

Solución: $1/2$

a. Classificació segons la seva naturalesa

Solución: Mínim local / Mínim relatiu

b. Valor màxim sobre la frontera circular $x^2 + y^2 = 1$

Solución: $2 + \sqrt{2}$

b. Valor mínim sobre la frontera circular $x^2 + y^2 = 1$

Solución: $2 - \sqrt{2}$

c. Coordenada $x$ del màxim absolut al disc tancat

Solución: $-\sqrt{2}/2$

c. Coordenada $y$ del màxim absolut al disc tancat

Solución: $-\sqrt{2}/2$

c. Coordenada $x$ del mínim absolut al disc tancat

Solución: $1/2$

c. Coordenada $y$ del mínim absolut al disc tancat

Solución: $1/2$

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Enunciado

Solución

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