Examen de Matematiques Iii UPF 2018 · Juny

Problema 1 (20 punts). Optimització amb restriccions Kuhn-Tucker

Es considera la funció d'optimització $f(x, y, z) = x^2 - y + z^2$ sota el conjunt de restriccions de desigualtat:

$$x^2 - y^2 \le 0, \quad y + z \le 1$$

a)

[15 punts] Apliqueu les condicions de Kuhn-Tucker per determinar els possibles punts extrems de la funció en la regió factible. Classifiqueu cadascun dels punts obtinguts com a màxims o mínims relatius/globals. En el supòsit que no existeixin màxims o mínims globals, argumenteu el motiu.

b)

[5 punts] Determineu els valors extrems de la funció $f(x, y, z)$ limitant-vos exclusivament a la frontera del domini, és a dir, amb restriccions d'igualtat $x^2 - y^2 = 0$ i $y + z = 1$. Si no s'assoleixen màxims o mínims, justifiqueu-ne la raó.

2. Problema 2 (20 punts). Equació en diferències emmagatzematge

En un magatzem es conserven $x_0$ tones d'un determinat compost químic. Cada any es produeix una pèrdua del 8% de les existències a causa de processos de degradació química. Per compensar aquesta minva i garantir el subministrament, l'empresa afegeix de manera constant 20 tones noves de producte cada any.

a.

Quina quantitat de producte s'estabilitzarà a llarg termini en el magatzem?

b.

Quines condicions ha de complir l'estoc inicial $x_0$ (en tones) per tal que la quantitat emmagatzemada no disminueixi en cap transició d'un any al següent? Raoneu la resposta.

c.

Si inicialment hi ha disponibles 300 tones de compost al magatzem, quina serà la pèrdua anual deguda a alteracions químiques? Proporcioneu l'expressió analítica d'aquesta pèrdua en funció del temps $t$.

Problema 3 (20 punts). Equació diferencial amb paràmetre

Trobeu la solució general de la següent equació diferencial ordinària de segon ordre:

$$\ddot{x} + (1 + b)\dot{x} + bx = e^{bt}$$

en funció del paràmetre real $b$, suposant $b \neq 0$.

Indicació: Recordeu el desenvolupament del binomi $(u - v)^2 = u^2 + v^2 - 2uv$.