Problema 1 · Matematiques Iii UPF Juny 2018

Tema: Optimització amb desigualtats: Kuhn-Tucker · Del examen Juny (2018)

Enunciado

Problema 1 (20 punts). Optimització amb restriccions Kuhn-Tucker

Es considera la funció d'optimització f(x,y,z)=x2−y+z2f(x, y, z) = x^2 - y + z^2 sota el conjunt de restriccions de desigualtat:

x2−y2≤0,y+z≤1x^2 - y^2 \le 0, \quad y + z \le 1

a)

[15 punts] Apliqueu les condicions de Kuhn-Tucker per determinar els possibles punts extrems de la funció en la regió factible. Classifiqueu cadascun dels punts obtinguts com a màxims o mínims relatius/globals. En el supòsit que no existeixin màxims o mínims globals, argumenteu el motiu.

b)

[5 punts] Determineu els valors extrems de la funció f(x,y,z)f(x, y, z) limitant-vos exclusivament a la frontera del domini, és a dir, amb restriccions d'igualtat x2−y2=0x^2 - y^2 = 0 i y+z=1y + z = 1. Si no s'assoleixen màxims o mínims, justifiqueu-ne la raó.

Enunciado: Problema 1 · Matematiques Iii UPF Juny 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (15 punts) Apliqueu les condicions de Kuhn-Tucker per determinar els possibles punts extrems de la funció en la regió factible. Classifiqueu cadascun dels punts obtinguts com a màxims o mínims relatius/globals. En el supòsit que no existeixin màxims o mínims globals, argumenteu el motiu.

Solución: Mínim global a (0,3/2,−1/2)(0, 3/2, -1/2) amb valor f(0,3/2,−1/2)=−5/4f(0, 3/2, -1/2) = -5/4. No existeix màxim global (la funció no està fitada superiorment en la regió, f(0,0,z)=z2→+∞f(0,0,z) = z^2 \to +\infty quan z→−∞z \to -\infty).

b. (5 punts) Determineu els valors extrems de la funció f(x, y, z) limitant-vos exclusivament a la frontera del domini, és a dir, amb restriccions d'igualtat x² - y² = 0 i y + z = 1. Si no s'assoleixen màxims o mínims, justifiqueu-ne la raó.

Solución: Mínims globals condicionats a la frontera als punts (±3/4,3/4,1/4)(\pm 3/4, 3/4, 1/4) amb valor f(±3/4,3/4,1/4)=−1/8f(\pm 3/4, 3/4, 1/4) = -1/8. No hi ha màxim sobre la frontera (la funció tendeix a +∞+\infty).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 4 · 2021 · Problema 6.c - Optimització amb restriccions de d… · Juny 2017 ›

Más ejercicios de Optimització amb desigualtats: Kuhn-Tucker