Examen de Álgebra Lineal UPC 2015 · Juny

Exercici 1 (5 punts). Descomposició en valors singulars (SVD)

La descomposició en valors singulars (SVD) permet expressar qualsevol matriu $A$ com el producte:

$$A = U S V^T$$

Les columnes de la matriu $U$ contenen els anomenats vectors singulars per l'esquerra d'$A$, els quals es poden determinar calculant els vectors propis (VEPs) de la matriu $A A^T$. Aquests vectors generen una base que designarem $B_U$, la qual és sempre ortogonal.

A partir de la matriu següent:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba la matriu $U$ associada a la descomposició en valors singulars de la matriu $A$. [1,5 punts]

b)

Comprova mitjançant el producte escalar ordinari que els vectors de la base $B_U$ són ortogonals entre si. [0,5 punts]

Considera ara que s'ha obtingut la SVD d'una matriu desconeguda $X$, la matriu $U$ de la qual resulta ser:

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & b \end{pmatrix}$$

c)

Un company afirma que la matriu $X$ és:

$$X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

És possible que tingui raó? Justifica la teva deducció. [0,5 punts]

No

Sí

d)

Calcula el valor de les constants $a$ i $b$ de la matriu $U$. [1,5 punts]

e)

Prenent el vector $\vec{x} = (1, 0, -1)$ expressat respecte a la base canònica de $\mathbb{R}^3$, calcula les seves coordenades en la base $B_U$, $[\vec{x}]_{B_U}$, pel camí de menor cost computacional. [1 punt]

Exercici 2 (5 punts). Espais amb producte escalar i projeccions

Considera l'espai vectorial $P_2(t)$ dels polinomis de grau menor o igual a 2 definit sobre $\mathbb{R}$, proveït del producte escalar:

$$\langle f(t), g(t) \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt$$

a.

Quin valor ha de prendre el paràmetre $a$ en el polinomi $f(t) = a + t^2$ si se sap que la seva projecció ortogonal sobre $g(t) = t$ és $\mathrm{proj}_g(f(t)) = 2t$? [1 punt]

b.

Determina una base ortogonal del subespai $\langle S \rangle$ generat pel conjunt $S = \{t, t^2\}$. [1 punt]

c.

Troba la millor aproximació de la funció constant $h(t) = 1$ sobre el subespai $\langle S \rangle$. [1 punt]

Passem a un nou espai vectorial: sigui $\mathbb{R}^3$ sobre $\mathbb{R}$ amb el producte escalar euclidià usual, i considerem el conjunt $S = \{(1,0,1), (0,1,-1)\}$.

a.

Escriu l'expressió general de tots els vectors que formen part del subespai ortogonal $\langle S \rangle^\perp$. [1 punt]

b.

S'ha determinat la millor aproximació $\hat{u}$ d'un cert vector $\vec{u}$ sobre el subespai generat per $S$. Quins dels següents tres vectors podrien ser l'error comès en aquesta aproximació? Raona clarament la tria.

$$\vec{x} = (2,-1,1), \quad \vec{y} = (-1,-1,1), \quad \vec{z} = (0,1,1)$$

[1 punt]