Exercici 1 · Álgebra Lineal UPC Juny 2015

Exercici 1 (5 punts). Descomposició en valors singulars (SVD)

La descomposició en valors singulars (SVD) permet expressar qualsevol matriu $A$ com el producte:

$$A = U S V^T$$

Les columnes de la matriu $U$ contenen els anomenats vectors singulars per l'esquerra d'$A$, els quals es poden determinar calculant els vectors propis (VEPs) de la matriu $A A^T$. Aquests vectors generen una base que designarem $B_U$, la qual és sempre ortogonal.

A partir de la matriu següent:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba la matriu $U$ associada a la descomposició en valors singulars de la matriu $A$. [1,5 punts]

b)

Comprova mitjançant el producte escalar ordinari que els vectors de la base $B_U$ són ortogonals entre si. [0,5 punts]

Considera ara que s'ha obtingut la SVD d'una matriu desconeguda $X$, la matriu $U$ de la qual resulta ser:

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & b \end{pmatrix}$$

c)

Un company afirma que la matriu $X$ és:

$$X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

És possible que tingui raó? Justifica la teva deducció. [0,5 punts]

No

Sí

d)

Calcula el valor de les constants $a$ i $b$ de la matriu $U$. [1,5 punts]

e)

Prenent el vector $\vec{x} = (1, 0, -1)$ expressat respecte a la base canònica de $\mathbb{R}^3$, calcula les seves coordenades en la base $B_U$, $[\vec{x}]_{B_U}$, pel camí de menor cost computacional. [1 punt]