Examen de Álgebra Lineal UPC 2015 · Juny

Es considera la família de matrius de $M_{2\times 2}$ següent:$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ b & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

a. Determina quins valors han de prendre els paràmetres reals $a$ i $b$ per tal que el conjunt $B$ constitueixi una base de $M_{2\times 2}$. [1 punt]

Es considera la família de matrius de $M_{2\times 2}$ següent:$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ b & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

Considerem a partir d'ara que $a = b = 0$:

b.

Determina de quina matriu $M$ es tracta si se sap que les seves coordenades en la base $B$ són $M|_B = (1, 2, 0, -1)$. [0,5 punts]

$M = \left(\vphantom{1}\right.$ $<\\pmatrix>$

$\quad\left(\vphantom{1}\right.$ $\left.\vphantom{1}\right)$

c.

Siguin els subespais vectorials $U, V \subset M_{2\times 2}$ dotats de les bases respectives:$$B_1 = \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}, \quad B_2 = \left\{\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}$$Raona si és factible trobar la matriu de canvi de base de $B_1$ a $B_2$. En cas afirmatiu, troba-la. [1 punt]

A

No

B

Sí

d.

Es dona la matriu $N = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U$. Troba les components del vector $N$ respecte de la base $B_1$. [0,5 punts]

$N|_{B_1} = ($ $,$ $)$

e.

Prenem una altra base de $U$, anomenada $B_3 = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$. Sabent que les coordenades del primer vector són $\vec{e}_1|_{B_1} = (2, 1)$ i que la matriu $N$ té coordenades $N|_{B_3} = (1, 1)$, dedueix la matriu de transició o canvi de base de $B_3$ a $B_1$. [2 punts]

$C_{B_3 B_1} = \left(\vphantom{1}\right.$ $<\\pmatrix>$

$\qquad\left(\vphantom{1}\right.$ $\left.\vphantom{1}\right)$

Exercici 2 (5 punts). Aplicacions lineals, composició i propietats

Siguin dues aplicacions lineals $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ i $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ tals que satisfan:

$\begin{aligned}

f(1,0,0) &= (0,0,1) \\

f(0,1,0) &= (0,1,1) \\

f(0,0,1) &= (k,1,1), \quad k \in \mathbb{R}

\end{aligned}$

$\begin{aligned}

g(1,0,0) &= (0,1,0) \\

g(1,1,0) &= (1,1,1) \\

g(1,1,1) &= (0,0,1)

\end{aligned}$

a.

Troba quin valor hauria de prendre $k$ per a aconseguir que el vector $\vec{x} = (-4,3,-3)$ pertanyi al nucli de l'aplicació $f$. [0,75 punts]

b.

Quin valor hauria de tenir el paràmetre $k$ per tal que l'aplicació $f$ sigui bijectiva? [0,75 punts]

c.

Calcula la matriu que representa la composició $g \circ f$ referida a les bases canòniques, en funció de $k$. [1,5 punts]

d.

Determina una base del nucli de $g \circ f$ segons els valors del paràmetre $k$. [1,5 punts]

e.

Justifica la veracitat o falsedat de la següent afirmació: « Una aplicació lineal $s: M_{2\times 2} \to P_2(x)$ mai no pot ser injectiva ». [0,5 punts]