Exercici 2 · Álgebra Lineal UPC Juny 2015

Exercici 2 (5 punts). Espais amb producte escalar i projeccions

Considera l'espai vectorial $P_2(t)$ dels polinomis de grau menor o igual a 2 definit sobre $\mathbb{R}$, proveït del producte escalar:

$$\langle f(t), g(t) \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt$$

a.

Quin valor ha de prendre el paràmetre $a$ en el polinomi $f(t) = a + t^2$ si se sap que la seva projecció ortogonal sobre $g(t) = t$ és $\mathrm{proj}_g(f(t)) = 2t$? [1 punt]

b.

Determina una base ortogonal del subespai $\langle S \rangle$ generat pel conjunt $S = \{t, t^2\}$. [1 punt]

c.

Troba la millor aproximació de la funció constant $h(t) = 1$ sobre el subespai $\langle S \rangle$. [1 punt]

Passem a un nou espai vectorial: sigui $\mathbb{R}^3$ sobre $\mathbb{R}$ amb el producte escalar euclidià usual, i considerem el conjunt $S = \{(1,0,1), (0,1,-1)\}$.

a.

Escriu l'expressió general de tots els vectors que formen part del subespai ortogonal $\langle S \rangle^\perp$. [1 punt]

b.

S'ha determinat la millor aproximació $\hat{u}$ d'un cert vector $\vec{u}$ sobre el subespai generat per $S$. Quins dels següents tres vectors podrien ser l'error comès en aquesta aproximació? Raona clarament la tria.

$$\vec{x} = (2,-1,1), \quad \vec{y} = (-1,-1,1), \quad \vec{z} = (0,1,1)$$

[1 punt]